Isosceles triangeln funktioner, formel och område, beräkning



en isosceles triangel Det är en tresidig polygon, där två av dem har samma mätning och den tredje sidan en annan mätning. Den här sista sidan heter bas. På grund av denna egenskap gavs detta namn, vilket på grekiska betyder "lika ben"

Trianglar är polygoner anses vara de enklaste i geometri, eftersom de bildas av tre sidor, tre vinklar och tre hörn. De är de som har minst antal sidor och vinklar i förhållande till de andra polygonerna, men användningen är väldigt omfattande.

index

  • 1 Egenskaper av isosceles trianglar
    • 1.1 Komponenter
  • 2 egenskaper
    • 2.1 Interna vinklar
    • 2.2 Summan av sidorna
    • 2.3 Kongruenta sidor
    • 2.4 Congruent vinklar
    • 2,5 Höjd, median, bisector och bisector är sammanfallande
    • 2.6 Relativa höjder
    • 2.7 Orthocenter, barycenter, incenter och circumcenter sammanfaller
  • 3 Hur man beräknar omkretsen?
  • 4 Hur man beräknar höjden?
  • 5 Hur man beräknar området?
  • 6 Hur man beräknar basen av triangeln?
  • 7 övningar
    • 7.1 Första övningen
    • 7.2 Andra övningen
    • 7.3 Tredje övningen
  • 8 referenser

Egenskaper av isosceles trianglar

Den isosceles triangeln klassificerades med hjälp av måttet på dess sidor som en parameter, eftersom två av dess sidor är kongruenta (de har samma längd).

Enligt amplituden av de inre vinklarna klassificeras isosceles trianglarna som:

  • Rektangulär isosceles triangel: Två av sidorna är lika. En av dess vinklar är raka (90eller) och de andra är desamma (45eller var och en)
  • Isosceles stump vinkel triangel: Två av sidorna är lika. En av dess vinklar är otrevliga (> 90eller).
  • Isosceles akut vinklad triangel: Två av sidorna är lika. Alla vinklar är skarpa (< 90eller), där två har samma mått.

komponenter

  • Medianen: är en linje som lämnar från mittpunkten på ena sidan och når motsatt vertex. De tre medianerna överensstämmer vid en punkt som kallas centroid eller centroid.
  • Bisektorn: är en stråle som delar vinkeln på varje vertex i två vinklar av samma storlek. Det är därför det är känt som symmetriaxeln och denna typ av trianglar har bara en.
  • Mediatrisen: är ett segment vinkelrätt mot sidan av triangeln, som härstammar mitt i detta. Det finns tre medier i en triangel och de överensstämmer med en punkt som heter circuncentro.
  • Höjden: är linjen som går från vertexen till den sida som är motsatt och även denna linje är vinkelrätt mot den sidan. Alla trianglar har tre höjder, som sammanfaller i en punkt som kallas orthocenter.

egenskaper

Isosceles trianglar definieras eller identifieras eftersom de har flera egenskaper som representerar dem, härrörande från de teorem som föreslagits av stora matematiker:

Inre vinklar

Summan av de inre vinklarna är alltid lika med 180eller.

Summan av sidorna

Summan av åtgärderna av två sidor måste alltid vara större än måttet på den tredje sidan, a + b> c.

Kongruenta sidor

Isosceles trianglar har två sidor med samma mått eller längd; det vill säga de är kongruenta och den tredje sidan skiljer sig från dessa.

Kongruenta vinklar

Isosceles trianglar är också kända som iso-vinklar trianglar, eftersom de har två vinklar som har samma mått (kongruenter). Dessa ligger vid basen av triangeln, motsatta sidorna som har samma längd.

På grund av detta, stämningen som fastställer det:

"Om en triangel har två kongruenta sidor, kommer vinklarna mittemot dessa sidor också att vara kongruenta." Därför, om en triangel är jämn, är vinklarna av dess baser kongruenta.

exempel:

Följande bild visar en triangel ABC. Genom att spåra sin bisektor från vertexen av vinkel B till basen är triangeln uppdelad i två trianglar lika med BDA och BDC:

Sålunda uppdelades vinkeln hos vertexen B också i två lika vinklar. Bisektorn är nu sidan (BD) gemensam mellan de två nya trianglarna, medan sidorna AB och BC är kongruenssidorna. Så du har fallet med kongruens sida, vinkel, sida (LAL).

Detta visar att vinklarna i punkterna A och C har samma mått, precis som det även kan visas att eftersom trianglarna BDA och BDC är kongruenta, är AD- och DC-sidorna också kongruenta..

Höjd, median, bisector och bisector är sammanfallande

Den linje dras från vertex mittemot basen till mittpunkten på basen av den likbenta triangeln, är både höjden, median och bisektrisen, samt bisektrisen på det motsatta hörnet av basen.

Alla dessa segment sammanfaller i en som representerar dem.

exempel:

Följande bild visar triangeln ABC med en mittpunkt M som delar basen i två segment BM och CM.

När du ritar ett segment från punkten M till det motsatta vertexet får du per definition den median AM, som är i förhållande till vertexen A och BC-sidan.

Eftersom AM-segmentet delar triangeln ABC i två lika trianglar AMB och AMC betyder det att sidovinkel, vinkel, sidokonfiguration kommer att tas och därför kommer AM också att vara bisectoren av BÂC.

Därför kommer bisektorn alltid att vara lika med medianen och vice versa.

AM-segmentet bildar vinklar som har samma mått för AMB- och AMC-trianglarna; det vill säga de är kompletterande på ett sådant sätt att åtgärden av var och en kommer att vara:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180eller

2 * Med. (AMC) = 180eller

Med. (AMC) = 180eller ÷ 2

Med. (AMC) = 90eller

Det kan vara känt att vinklarna som bildas av AM-segmentet i förhållande till basen av triangeln är raka, vilket indikerar att detta segment är helt vinkelrätt mot basen.

Därför representerar den höjden och bisektorn, med vetande att M är mittpunkten.

Därför är raklinjen AM:

  • Representerar höjden av BC.
  • Det är medium.
  • Den finns i BC: s mediatrix.
  • Det är bisektorn av den vertikala vinkeln Â

Relativa höjder

Höjderna som är jämförda med lika sidor, har samma åtgärd också.

Eftersom isosceles triangeln har två lika sidor, kommer deras två respektive höjder också att vara lika.

Orthocenter, barycenter, incenter och circumcenter sammanfaller

Såsom höjd, median bisector tudelar och på basen, representeras både av ett enda segment, orthocenter, och centroid Incentro circumcenter vara kolinjära punkter, dvs de var i samma linje:

Hur man beräknar omkretsen?

Omkretsen av en polygon beräknas av summan av sidorna.

Som i det här fallet har den likvärdiga triangeln två sidor med samma mått, dess omkrets beräknas med följande formel:

P = 2*(sida a) + (sid b).

Hur man beräknar höjden?

Höjden är linjen vinkelrätt mot basen, delar triangeln i två lika delar genom att sträcka sig till motsatt vertex.

Höjden representerar det motsatta benet (a), hälften av basen (b / 2) till det intilliggande benet och "a" -sidan representerar hypotenusen.

Med hjälp av Pythagoras teorem kan du bestämma värdet på höjden:

till2 + b2 = c2

där:

till2 = höjd (h).

b2 = b / 2.

c2 = sida a.

Att ersätta dessa värden i Pythagoreas teorem och rensa höjden vi har:

h2 + (b / 2)2 = till2

h2 + b2 / 4 = till2

h2 = till2 - b2 / 4

h = √ (till2 - b2 / 4).

Om vinkeln som bildas av kongruens sidor är känd kan höjden beräknas med följande formel:

Hur man beräknar området?

Trianglarna är alltid beräknade med samma formel, multiplicera basen med höjd och dela med två:

Det finns fall där endast mätningarna av två sidor av triangeln och den vinkel som bildas mellan dem är kända. I detta fall, för att bestämma området är det nödvändigt att tillämpa trigonometriska förhållandena:

Hur man beräknar basen av triangeln?

Eftersom den isosceles triangeln har två lika sidor, för att bestämma värdet av basen måste man åtminstone veta hur mycket höjden eller en av dess vinklar är.

Att veta höjden används Pythagoras teorem:

till2 + b2 = c2

där:

till2 = höjd (h).

c2 = sida a.

b2 = b / 2, är okänd.

Vi rensade b2 av formeln och vi måste

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Eftersom detta värde motsvarar hälften av basen måste det multipliceras med två för att erhålla hela måttet på basen av isosceles triangeln:

b = 2 * (√ a2 - c2)

I händelse av att bara är känd värde lika sidor och vinkeln mellan dessa är trigonometri anbringas genom att en linje markeras från apex till basen som delar likbent triangel i två rätvinkliga trianglar.

På så sätt beräknas hälften av basen med:

Det är också möjligt att endast värdet av höjd och vinkel på vertexen som är motsatt basen är känd. I det fallet genom trigonometri kunde basen bestämmas:

utbildning

Första träningen

Hitta området av den isosceles triangeln ABC, vetande att två av sina sidor mäter 10 cm och den tredje sidan mäter 12 cm.

lösning

För att hitta området i triangeln är det nödvändigt att beräkna höjden med formeln för området som är relaterat till Pythagoreas teorem eftersom värdet av vinkeln som bildas mellan lika sidor inte är känd.

Vi har följande data av isosceles triangeln:

  • Lika sidor (a) = 10 cm.
  • Bas (b) = 12 cm.

Värdena i formeln ersätts:

Andra övningen

Längden på de två lika sidorna av en likriktad triangel mäter 42 cm, föreningen av dessa sidor bildar en vinkel på 130eller. Bestäm värdet på den tredje sidan, området för den triangeln och omkretsen.

lösning

I detta fall är måtten på sidorna och vinkeln mellan dessa kända.

Att förstå värdet av den saknade sidan, dvs basen av triangeln, är en linje vinkelrätt mot detta plottades genom att dividera vinkeln i två lika delar, en för varje rätvinklig triangel bildas.

  • Lika sidor (a) = 42 cm.
  • Vinkel ()) = 130eller

Nu genom trigonometri beräknas värdet av halva basen, vilket motsvarar hälften av hypotenusen:

För att beräkna området är det nödvändigt att känna till höjden på den triangeln som kan beräknas med trigonometri eller genom Pythagoras teorem, nu när värdet av basen redan har bestämts.

Med trigonometri blir det:

Omkretsen beräknas:

P = 2*(sida a) + (sid b).

P = 2* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Tredje övningen

Beräkna de inre vinklarna av isosceles triangeln, med vetskap om att vinkeln på basen är  = 55eller

lösning

För att hitta de två saknade vinklarna (Ê och Ô) är det nödvändigt att komma ihåg två egenskaper av trianglarna:

  • Summan av de inre vinklarna för varje triangel kommer alltid att vara = 180eller:

 + Ê + Ô = 180 eller

  • I en likriktad triangel är vinklarna av basen alltid kongruenta, det vill säga de har samma mått, därför:

 = Ô

Ê = 55eller

För att bestämma värdet på vinkeln Ê, sätt in värdena för de andra vinklarna i den första regeln och töm Ê:

55eller + 55eller + Ô = 180 eller

110 eller + Ô = 180 eller

Ô = 180 eller - 110 eller

Ô = 70 eller.

referenser

  1. Álvarez, E. (2003). Element av geometri: med många övningar och geometri av kompassen. Universitetet i Medellin.
  2. Álvaro Rendón, A.R. (2004). Teknisk ritning: aktiviteter anteckningsbok.
  3. Angel, A. R. (2007). Elementaralgebra Pearson Education.
  4. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
  5. Baldor, A. (1941). Algebra. Havanna: Kultur.
  6. José Jiménez, L.J. (2006). Matematik 2.
  7. Tuma, J. (1998). Handbok för ingenjörsmatematik. Wolfram MathWorld.