Trinomial av formen x ^ 2 + bx + c (med exempel)

Innan du lär dig att lösa trinomial av formen x ^ 2 + bx + c, och även innan man vet begreppet trinomial är det viktigt att veta två väsentliga begrepp; nämligen begreppen monomial och polynom. En monom är ett uttryck av typen a * xⁿ, där a är ett rationellt tal, n är ett naturligt tal och x är en variabel.

Ett polynom är en linjär kombination av monomier av formen a_n* xⁿ+till_n-1* x^n-1+... + a₂* x²+till₁* x + a₀, var var och en a_jag, med i = 0, ..., n, är ett rationellt tal, n är ett naturligt tal och a_n är nonzero. I detta fall sägs att graden av polynomet är n.

Ett polynom som bildas av summan av endast två termer (två monomialer) av olika grad, kallas binomial.

index

• 1 Trinomials
  • 1.1 Perfekt kvadratisk trinomial
• 2 Egenskaper för grad 2-trinomier
  • 2.1 Perfekt kvadrat
  • 2.2 Lösningsmedel formel
  • 2.3 Geometrisk tolkning
  • 2.4 Factoring av trinomialer
• 3 exempel
  • 3.1 Exempel 1
  • 3.2 Exempel 2
• 4 referenser

trinomials

Ett polynom som bildas av summan av endast tre termer (tre monomialer) av olika grader är känd som en trinomial. Följande är exempel på trinomier:

• x³+x²+5x
• 2x⁴-x³+5
• x²+6x + 3

Det finns flera typer av trinomialer. Av dessa belyser den perfekta kvadratiska trinomialen.

Perfekt kvadratisk trinomial

En perfekt kvadratisk trinomial är resultatet av att höja en binomial kvadrat. Till exempel:

• (3x-2)²= 9x²-12x + 4
• (2x³+y)²= 4x⁶+4x³y + y²
• (4x²-2y⁴)²= 16x⁴-16x²och⁴+4y⁸
• 1 / 16x²och⁸-1 / 2xy⁴z + z²= (1 / 4xy⁴)²-2 (1 / 4xy⁴) z + z²= (1 / 4xy⁴-z)²

Kännetecken för klass 2-trinomier

Perfekt torg

I allmänhet är en trinomial av formuläret ax²+bx + c är en perfekt kvadrat om dess diskriminator är lika med noll; det vill säga om b²-4ac = 0, eftersom det i det här fallet bara kommer att ha en rot och kan uttryckas i formen a (x-d)²= (√a (x-d))², där d är roten som redan nämnts.

En polynomers rot är ett tal där polynomet blir noll; med andra ord ett tal som genom att ersätta det i x i polynomans uttryck resulterar i noll.

Lösningsmedel formel

En generell formel för beräkning av rötterna för ett polynom i den andra graden av formuläret axeln²+bx + c är upplösarens formel, som anger att dessa rötter ges av (-b ± √ (b²-4ac)) / 2a, där b²-4ac är känd som diskriminanten och betecknas vanligtvis av Δ. Från denna formel följer det att axeln²+bx + c har:

- Två olika reella rötter om Δ> 0.

- En enda verklig rot om Δ = 0.

- Den har ingen riktig rot om Δ<0.

I det följande kommer vi att överväga endast trinomierna av formen x²+bx + c, där klart c måste vara ett icke-nolltal (annars skulle det vara en binomial). Denna typ av trinomialer har vissa fördelar vid factoring och drift med dem.

Geometrisk tolkning

Geometriskt, den trinomiska x²+bx + c är en parabol som öppnar uppåt och har vertexen vid punkten (-b / 2, -b²/ 4 + c) av det kartesiska planet eftersom x²+bx + c = (x + b / 2)²-b²/ 4 + c.

Denna parabola skär Y-axeln vid punkten (0, c) och X-axeln vid punkterna (d₁,0) och (d)₂,0); då d₁ och d₂ de är trombomens rötter. Det kan hända att trinomen har en enda rot d, i vilket fall det enda skälet med X-axeln skulle vara (d, 0).

Det kan också hända att trinomialet inte har några riktiga rötter, i vilket fall det inte skulle skära X-axeln när som helst.

Till exempel x²+6x + 9 = (x + 3)²-9 + 9 = (x + 3)² är parabol med vertex i (-3,0), vilket skär Y-axeln i (0,9) och X-axeln i (-3,0).

Trinomial faktorisering

Ett mycket användbart verktyg när man arbetar med polynom är factoring, vilket är att uttrycka ett polynom som en produkt av faktorer. I allmänhet ges en trinomial av formen x²+bx + c, om detta har två olika rötter d₁ och d₂, det kan betraktas som (x-d)₁) (x-d)₂).

Om du bara har en root d kan du faktor det som (x-d) (x-d) = (x-d)², och om det inte har några riktiga rötter, är det kvar detsamma; i det här fallet stöder det inte en faktorisering som en produkt av andra faktorer än sig själv.

Detta betyder att, med kännedom om rötterna till en trinomial av den redan etablerade formen, kan dess faktorisering enkelt uttryckas, och som redan nämnts kan dessa rötter alltid bestämmas med användning av lösningsmedlet.

Det finns emellertid en betydande mängd av denna typ av trinomier som kan faktureras utan att behöva veta sina rötter på förhand vilket förenklar arbetet.

Rötterna kan bestämmas direkt från faktoriseringen utan att behöva använda formeln för resolveren; Dessa är polynomerna av formen x² +(a + b) x + ab. I det här fallet har du:

x²+(a + b) x + ab = x²+yx + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Härifrån observeras det lätt att rötterna är -a och -b.

Med andra ord ges en trinomial x²+bx + c, om det finns två siffror u och v så att c = uv och b = u + v, sedan x²+bx + c = (x + u) (x + v).

Det är, givet en trinomial x²+bx + c, först verifiera om det finns två siffror som multiplicerat den oberoende termen (c) och adderad (eller subtraherad, beroende på fallet), ge termen som följer med x (b).

Inte med alla trinomier på detta sätt kan denna metod tillämpas där du inte kan, går du till resolvent och tillämpar det ovan nämnda.

exempel

Exempel 1

Att faktor följande trinomial x²+3x + 2 fortsätter vi enligt följande:

Du måste hitta två tal så att när du lägger till dem är resultatet 3, och när du multiplicerar dem är resultatet 2.

Efter inspektion kan man dra slutsatsen att antalet söka är: 2 och 1. Därför x²+3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Exempel 2

För att faktorera trinomialen x²-5x + 6 vi letar efter två nummer vars summa är -5 och dess produkt är 6. De siffror som uppfyller dessa två villkor är -3 och -2. Därför är faktoriseringen av det givna trinomet x²-5x + 6 = (x-3) (x-2).

referenser

1. Källor, A. (2016). Grundläggande matematik. En introduktion till beräkning. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematik: kvadratiska ekvationer: Hur man löser en kvadratisk ekvation. Marilù Garo.
3. Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Matematik för administration och ekonomi. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. tröskel.
5. Preciado, C. T. (2005). Matematikkurs 3o. Editorial Progreso.
6. Rock, N. M. (2006). Algebra Jag är lätt! Så enkelt. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra och trigonometri. Pearson Education.