Skala triangel funktioner, formel och områden, beräkning



en skalentriangel Det är en tresidig polygon, där alla har olika mått eller längder; av den anledningen ges namnet scalene, vilket på latin betyder klättring.

Trianglar är polygoner anses vara enklaste i geometri, eftersom de bildas tre sidor, tre vinklar och tre hörn. När det gäller skalentriangeln, eftersom den har alla olika sidor, innebär det att dess tre vinklar också kommer att vara olika..

index

  • 1 Egenskaper hos scalentrianglar
    • 1.1 Komponenter
  • 2 egenskaper
    • 2.1 Interna vinklar
    • 2.2 Summan av sidorna
    • 2.3 Inkonsekventa sidor
    • 2.4 Incongruent vinklar
    • 2,5 Höjd, median, bisector och bisector är inte sammanfallande
    • 2.6 Orthocenter, barycenter, incenter och circumcenter är inte sammanfallande
    • 2,7 Relativa höjder
  • 3 Hur man beräknar omkretsen?
  • 4 Hur man beräknar området?
  • 5 Hur man beräknar höjden?
  • 6 Hur man beräknar sidorna?
  • 7 övningar
    • 7.1 Första övningen
    • 7.2 Andra övningen
    • 7.3 Tredje övningen
  • 8 referenser

Egenskaper hos scalene trianglar

Scalene trianglar är enkla polygoner eftersom ingen av dess sidor eller vinklar har samma mått, till skillnad från isosceles och liksidiga trianglar.

Eftersom alla sidor och vinklar har olika mått anses dessa trianglar vara oregelbundna konvexa polygoner.

Enligt amplituden av de inre vinklarna klassificeras scalene trianglarna som:

  • Skala rektangel triangel: alla sidor är olika. En av dess vinklar är raka (90eller) och de andra är skarpa och med olika åtgärder.
  • Skala stump vinkel triangel: alla sidor är olika och en av dess vinklar är ostörda (> 90eller).
  • Skalvinkel vinkel triangel: alla sidor är olika. Alla vinklar är skarpa (< 90eller), med olika åtgärder.

Ett annat inslag i scalene trianglar är att på grund av inkonsekvens i sina sidor och vinklar, har ingen symmetriaxel.

komponenter

Medianen: är en linje som lämnar från mittpunkten på ena sidan och når motsatt vertex. De tre medianerna överensstämmer vid en punkt som kallas centroid eller centroid.

Bisektorn: är en stråle som delar vinkeln i två vinklar av samma storlek. Bisektorerna i en triangel överensstämmer med punkt som kallas incentro.

Mediatrisen: är ett segment vinkelrätt mot sidan av triangeln, som härstammar mitt i detta. Det finns tre mediatriser i en triangel och överensstämmer med en punkt som heter circumcenter.

Höjden: är linjen som går från vertexen till den sida som är motsatt och även denna linje är vinkelrätt mot den sidan. Alla trianglar har tre höjder som sammanfaller vid en punkt som kallas orthocenter.

egenskaper

Skala trianglar definieras eller identifieras eftersom de har flera egenskaper som representerar dem, härrörande från de teorem som föreslagits av stora matematiker. De är:

Inre vinklar

Summan av de inre vinklarna är alltid lika med 180eller.

Summan av sidorna

Summan av åtgärderna av två sidor måste alltid vara större än måttet på den tredje sidan, a + b> c.

Inkonsekventa sidor

Alla sidor av scalene trianglar har olika mått eller längder; det vill säga de är inkongruösa.

Inkonsekventa vinklar

Eftersom alla sidor av scalene triangeln är olika, kommer deras vinklar vara olika också. Men summan av vinklarna alltid lika 180, och i vissa fall en av sina vinklar kan vara trubbig eller rak, medan det i andra alla vinklar är akut.

Höjd, median, bisector och bisector är inte sammanfallande

Precis som någon triangel har skalen flera segment av raka linjer som komponerar den, såsom: höjd, median, bisektor och bisector.

På grund av sidans särdrag kommer ingen av dessa linjer att sammanfalla i denna typ av triangel i en enda.

Orthocenter, barycenter, incenter och circumcenter är inte sammanfallande

Såsom höjd, median bisector tudelar och de representeras av olika linjesegment i en oliksidig triangel mötesplatser-orthocenter, och centroiden Incentro circuncentro-, vara belägna vid olika punkter (felmatchad).

Beroende på om triangeln är akut, rektangel eller scalene, har orthocenteret olika platser:

a. Om triangeln är akut kommer orthocenteret att ligga inuti triangeln.

b. Om triangeln är en rektangel, kommer orthocenteret att sammanfalla med kanten av den raka sidan.

c. Om triangeln är stump, kommer orthocenteret att ligga på utsidan av triangeln.

Relativa höjder

Höjderna är i förhållande till sidorna.

När det gäller scalene-triangeln kommer dessa höjder att ha olika mätningar. Varje triangel har tre relativa höjder och för att beräkna dem används heronens formel.

Hur man beräknar omkretsen?

Omkretsen av en polygon beräknas av summan av sidorna.

Som i detta fall har skalentriangeln alla sina sidor med olika mått, dess omkrets är:

P = sida a + sida b + sida c.

Hur man beräknar området?

Trianglarna är alltid beräknade med samma formel, multiplicera basen med höjd och dela med två:

Område = (bas * h) ÷ 2

I vissa fall är inte känt höjden av oliksidig triangel, men det finns en formel som föreslogs av matematiker Heron, att beräkna området att känna till omfattningen av de tre sidorna av en triangel.

där:

  • a, b och c representerar sidorna av triangeln.
  • sp, motsvarar trianglens semiperimeter, det vill säga hälften av omkretsen:

sp = (a + b + c) ÷ 2

I det fall då endast långt två sidor av triangeln och den vinkel som bildas mellan dessa tas, kan området beräknas med hjälp av trigonometriska förhållanden. Så du måste:

Område = (sid * h) ÷ 2

Där höjden (h) är produkten av ena sidan av sinus av motsatt vinkel. Till exempel för varje sida kommer området att vara:

  • Område = (b * c * sen A) ÷ 2
  • Område = (a * c * sen B) ÷ 2.
  • Område = (a * b * sen C) ÷ 2

Hur man beräknar höjden?

Eftersom alla sidor av scalene triangeln är olika, är det inte möjligt att beräkna höjden med Pythagoras teorem.

Från Herons formel, som är baserat på mätningarna av tre sidor av en triangel, kan området beräknas.

Höjden kan rensas av områdets allmänna formel:

Sidan ersätts av mätningen av sidan a, b eller c.

Ett annat sätt att beräkna höjden när är känt värdet av en vinkel, tillämpar trigonometriska förhållanden, där höjden kommer att utgöra ett ben av triangeln.

Till exempel, när den motsatta vinkeln till höjden är känd, bestäms den av sinusen:

Hur man beräknar sidorna?

När du har måttet på två sidor och vinkeln motsatt till dessa, är det möjligt att bestämma den tredje sidan genom att tillämpa cosinos stämning.

Till exempel i en triangel AB är höjden relativt segmentet AC ritad. På så sätt är triangeln uppdelad i två rätt trianglar.

För att beräkna c-sidan (segment AB) appliceras Pythagoreas teorem för varje triangel:

  • För den blå triangeln måste du:

c2 = h2 + m2

Som m = b - n, ersätts den:

c2 = h2 + b2 (b - n)2

c2 = h2 + b2 - 2 miljard + n2.

  • För den rosa triangeln måste du:

h2 = a2 - n2

Den ersätts i föregående ekvation:

c2 = a2 - n2 + b2 - 2 miljard + n2

c2 = a2 + b2 - 2BN.

Att veta att n = a * cos C, ersätts i föregående ekvation och värdet av sidan c erhålles:

c2 = a2 + b2 - 2b* till * cos C.

Genom Cosins lag kan sidorna beräknas som:

  • till2 = b2 + c2 - 2b* c * cos A.
  • b2 = a2 + c2 - den 2: a* c * cos B.
  • c2 = a2 + b2 - 2b* till * cos C.

Det finns fall där mätningarna av sidorna av triangeln inte är kända, men deras höjd och vinklarna som bildas i hörnen. För att bestämma området i dessa fall är det nödvändigt att tillämpa trigonometriska förhållandena.

Att känna till vinkeln på en av dess hörn, identifieras benen och motsvarande trigonometriska förhållande används:

Till exempel, kommer det katetem motsatt AB vara vinkeln C, men i anslutning till vinkeln A. Beroende på den sida som motsvarar höjden eller benet, är den andra sidan rensas för att erhålla värdet av denna.

utbildning

Första träningen

Beräkna området och en höjd av skalentriangeln ABC, med vetskap om att sidorna är:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

lösning

Som data ges mätningarna av de tre sidorna av skalentriangeln.

Eftersom du inte har höjdvärdet kan du bestämma området genom att använda Heron-formeln.

Först beräknas semiperimetern:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Nu ersätts värdena i Herons formel:

Att veta området kan beräknas den relativa höjden på sidan b. Från den allmänna formeln, rensa den har du:

Område = (sid * h) ÷ 2

46, 47 cm2 = (12 cm * h) ÷ 2

h = (2 * 46,47 cm2) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm2 ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Andra övningen

Med tanke på SCALEN-triangeln ABC, vars åtgärder är:

  • Segment AB = 25 m.
  • Segment BC = 15 m.

Vid vertexen B bildas en vinkel på 50 °. Beräkna den relativa höjden till sidan c, omkretsen och området för den triangeln.

lösning

I det här fallet har du åtgärder av två sidor. För att bestämma höjden är det nödvändigt att beräkna mätningen av den tredje sidan.

Eftersom vinkeln motsatt de givna sidorna ges, är det möjligt att tillämpa cosinuslagen för att bestämma mätningen av AC-sidan (b):

b2 = a2 + c2 - den 2: a*c * cos B

där:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50eller.

Datan ersätts:

b2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

b2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

b2 = (225) + (625) - (482 025)

b2 = 367,985

b = √367.985

b = 19,18 m.

Som du redan har värdet av de tre sidorna, beräkna omkretsen av den triangeln:

P = sida a + sida b + sida c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Nu är det möjligt att bestämma området genom att tillämpa Heron-formeln, men först måste semiperimetern beräknas:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Mätningarna av sidorna och semiperimetern ersätts i Heron-formeln:

Slutligen, med kännedom om området kan den relativa höjden på sidan c beräknas. Från den allmänna formeln, rensa den måste du:

Område = (sid * h) ÷ 2

143,63 m2 = (25 m * h) ÷ 2

h = (2 * 143,63 m2) ÷ 25 m

h = 287,3 m2 ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Tredje övningen

I skalen triangeln ABC mäter sidan b 40 cm, sidan c mäter 22 cm och i vinkeln A bildas en vinkel på 90eller. Beräkna området för den triangeln.

lösning

I detta fall ges mätningarna av två sidor av skalentriangeln ABC, såväl som den vinkel som bildas i vertexen A.

För att bestämma området är det inte nödvändigt att beräkna måttet på sidan a, eftersom genom de trigonometriska förhållandena används vinkeln för att hitta den.

Eftersom den motsatta vinkeln till höjden är känd, bestäms detta av produkten på ena sidan och vinkelns sinus.

Att ersätta i formeln för området måste du:

  • Område = (sid * h) ÷ 2
  • h = c * sen A

Område = (b * c * sen A) ÷ 2

Yta = (40 cm * 22 cm * sen 90) ÷ 2

Yta = (40 cm * 22 cm * 1) ÷ 2

Yta = 880 cm2 ÷ 2

Yta = 440 cm2.

referenser

  1. Álvaro Rendón, A.R. (2004). Teknisk ritning: aktiviteter anteckningsbok.
  2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Geometrier. CR-teknik, .
  3. Angel, A. R. (2007). Elementaralgebra Pearson Education,.
  4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havanna: Kultur.
  5. Barbosa, J. L. (2006). Flat Euklidisk geometri. Rio de Janeiro,.
  6. Coxeter, H. (1971). Fundamentals of Geometry Mexiko: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014). Elementär geometri för högskolestudenter. Cengage Learning.
  8. Harpe, P. d. (2000). Ämnen i Geometrisk Gruppteori. University of Chicago Press.