Equilateral triangeln funktioner, egenskaper, formler och område

en liksidig triangel det är en polygon med tre sidor, där alla är lika; det vill säga de har samma åtgärd. För den karaktäristiska betecknades den som liksidig (lika sidor).

Trianglar är polygoner anses vara enklaste i geometri, eftersom de bildas tre sidor, tre vinklar och tre hörn. När det gäller den liksidiga triangeln, med att ha lika sidor, innebär det att dess tre vinklar också kommer att vara.

index

• 1 Egenskaper av ekvaterala trianglar
  • 1.1 lika sidor
  • 1.2 Komponenter
• 2 egenskaper
  • 2.1 Interna vinklar
  • 2.2 Externa vinklar
  • 2.3 Summan av sidorna
  • 2.4 Kongruenta sidor
  • 2,5 kongruenta vinklar
  • 2.6 Bisektorn, medianen och mediatrisen är sammanfallande
  • 2.7 Bisektorn och höjden är sammanfallande
  • 2.8 Orthocenter, barycenter, incenter och circumcenter sammanfaller
• 3 Hur man beräknar omkretsen?
• 4 Hur man beräknar höjden?
• 5 Hur man beräknar sidorna?
• 6 Hur man beräknar området?
• 7 övningar
  • 7.1 Första övningen
  • 7.2 Andra övningen
  • 7.3 Tredje övningen
• 8 referenser

Egenskaper för liksidiga trianglar

Lika sidor

De liksidiga trianglarna är plana och stängda figurer, bestående av tre segment av raka linjer. Trianglarna klassificeras enligt deras egenskaper, i förhållande till deras sidor och vinklar; liksidan klassificerades med hjälp av måttet på dess sidor som en parameter, eftersom dessa är exakt samma, det vill säga de är kongruenta.

Den liksidiga triangeln är ett särskilt fall av isosceles triangeln eftersom två av dess sidor är kongruenta. Därför är alla liksidiga trianglar också likställda, men inte alla likvärdiga trianglar kommer att vara liksidiga.

På så sätt har de liksidiga trianglarna samma egenskaper som en likvärdig triangel.

Liksidiga trianglar kan också klassificeras av amplituden av sina inre vinklar som liksidig vinklad triangel, som har tre sidor och tre inre vinklar med samma åtgärd. Vinklarna kommer att vara skarpa, det vill säga de kommer att vara mindre än 90^eller.

komponenter

Trianglar i allmänhet har flera linjer och punkter som komponerar den. De används för att beräkna området, sidorna, vinklarna, medianen, bisektorn, vinkelrätt och höjd.

• Medianen: är en linje som lämnar från mittpunkten på ena sidan och når motsatt vertex. De tre medianerna överensstämmer vid en punkt som kallas centroid eller centroid.
• Bisektorn: är en stråle som skiljer vinklarna i två vinklar av samma storlek, det är därför det är känt som symmetriaxeln. Den liksidiga triangeln har tre symmetriaxlar.

I den liksidiga triangeln är bisektorn ritad från vertexen av en vinkel mot sin motsatta sida, skär den vid sin mittpunkt. Dessa överensstämmande punkter kallas incentro.

• Mediatrisen: är ett segment vinkelrätt mot sidan av triangeln som härstammar mitt i detta. Det finns tre medier i en triangel och de överensstämmer med en punkt som heter circuncentro.
• Höjden: är linjen som går från vertexen till den sida som är motsatt och även denna linje är vinkelrätt mot den sidan. Alla trianglar har tre höjder som sammanfaller vid en punkt som kallas orthocenter.

egenskaper

Huvudegenskapen för liksidiga trianglar är att de alltid kommer att vara likadana trianglar, eftersom isoscelerna bildas av två kongruenta sidor och de liksidiga av tre.

På så sätt ärgade de liksidiga trianglarna alla egenskaperna hos isosceles triangeln:

Interna vinklar

Summan av de inre vinklarna är alltid lika med 180^eller, och eftersom alla dess vinklar är kongruenta, kommer var och en av dessa att mäta 60^eller.

Externa vinklar

Summan av de yttre vinklarna kommer alltid att vara lika med 360^eller, Därför kommer varje yttre vinkel att mäta 120^eller. Detta beror på att de interna och yttre vinklarna är kompletterande, det vill säga att lägga dem alltid kommer att vara lika med 180^eller.

Summan av sidorna

Summan av åtgärderna av två sidor måste alltid vara större än måttet på den tredje sidan, det vill säga a + b> c, där a, b och c är mätningarna på varje sida.

Kongruenta sidor

Liksidiga trianglar har sina tre sidor med samma mått eller längd; det vill säga de är kongruenta. Därför har vi i det föregående objektet a = b = c.

Kongruenta vinklar

Liksidiga trianglar är också kända som ekviangulära trianglar, eftersom deras tre inre vinklar är kongruenta med varandra. Detta beror på att alla sidor också har samma mått.

Bisektorn, medianen och mediatrisen är sammanfallande

Bisektorn delar upp en triangels sida i två delar. I de liksidiga trianglarna kommer denna sida att delas in i två exakt lika delar, det vill säga triangeln delas upp i två kongruenta högra trianglar.

Sålunda sammanfaller bisektorn från vilken vinkel som helst av en liksidig triangel med medianen och bisektorn på den motsatta sidan av den vinkeln.

exempel:

Följande bild visar triangeln ABC med en mittpunkt D som delar en av sina sidor i två segment AD och BD.

När du ritar en linje från punkt D till motsatt vertex får du per definition median-cd-skivan, som är i förhållande till vertex C och AB-sidan.

Eftersom CD-segmentet delar triangeln ABC i två trianglar som är lika med CDB och CDA, betyder det att vi kommer att ha fallet med kongruens: sida, vinkel, sida och därför kommer CD också att vara bisektorn av BCD.

Vid ritning av CD-segmentet dela vertexvinkeln i två lika vinklar på 30^eller, Vinkeln på vertex A fortsätter att mäta 60^eller och den raka CDen bildar en vinkel på 90^eller med avseende på mittpunkten D.

Segment-CD-skivan bildar vinklar som har samma mätning för trianglarna ADC och BDC, det vill säga de är kompletterande på ett sådant sätt att mätningen av var och en kommer att vara:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180^eller

2 _* Med. (ADC) = 180^eller

Med. (ADC) = 180^eller ÷ 2

Med. (ADC) = 90^eller.

Och så har du att CD-segmentet är också bisektorn på AB-sidan.

Bisektorn och höjden är sammanfallande

När du drar bisektorn från vertexen till en vinkel mot mittpunkten på motsatt sida delar den liksidig triangeln i två kongruente trianglar.

På så sätt bildas en vinkel på 90^eller (Hetero). Detta indikerar att detta linjesegment är helt vinkelrätt mot den sidan och per definition skulle linjen vara höjden.

På detta sätt sammanfaller bisektorn av vilken vinkel som helst av en liksidig triangel med den relativa höjden på motsatt sida av den vinkeln.

Orthocenter, barycenter, incenter och circumcenter sammanfaller

Såsom höjd, medium och bisektrisen tudelar representeras både av samma segment, i en liksidig punkterna i dessa segment-orthocenter, centroiden, incenter och circuncentro- triangel, var i samma punkt mötes:

Hur man beräknar omkretsen?

Omkretsen av en polygon beräknas av summan av sidorna. Eftersom i samma fall den liksidiga triangeln har alla sina sidor med samma mått, beräknas dess omkrets med följande formel:

P = 3 _* sida.

Hur man beräknar höjden?

Eftersom höjden är linjen vinkelrätt mot basen delar den upp i två lika delar genom att sträcka sig till motsatt vertex. Således bildas två lika höga trianglar.

Höjden (h) representerar den motsatta sidan (a), hälften av sid AC till den intilliggande sidan (b) och sidan BC representerar hypotenusen (c).

Med hjälp av Pythagoras teorem kan du bestämma värdet på höjden:

till² + b²= c²

där:

till² = höjd (h).

b² = sida b / 2.

c² = sida a.

Att ersätta dessa värden i Pythagoreas teorem och rensa höjden vi har:

h² + ( l / 2)² = l²

h² +  l²/ 4 = l²

h² = l²  -  l²/ 4

h² = (4_*l² -  l²) / 4

h² =  3_*l²/4

√h² = √ (3_*l²/4)

Om vinkeln som bildas av kongruenssidorna är känd kan höjden (representerad av ett ben) beräknas genom att man tillämpar de trigonometriska förhållandena.

Benen heter motsatta eller intilliggande beroende på den vinkel som tagits som en referens.

Till exempel, i den föregående figuren kommer katetern h att vara motsatt för vinkeln C men intill vinkeln B:

Således kan höjden beräknas med:

Hur man beräknar sidorna?

Det finns fall där mätningarna av sidorna av triangeln inte är kända, men deras höjd och vinklarna som bildas i hörnen.

För att bestämma området i dessa fall är det nödvändigt att tillämpa trigonometriska förhållandena.

Att känna till vinkeln på en av dess hörn, identifieras benen och motsvarande trigonometriska förhållande används:

Sålunda, kommer benet AB vara motsatt den vinkeln C, men i anslutning till vinkeln A. Beroende sidan eller motsvarande höjden benet, är den andra sidan rensas för att erhålla värdet av detta, att veta att i en liksidig triangel tre sidorna kommer alltid att ha samma storlek.

Hur man beräknar området?

Trianglarna är alltid beräknade med samma formel, multiplicera basen med höjd och dela med två:

Område = (b _* h) ÷ 2

Att veta att höjden ges med formeln:

utbildning

Första träningen

Sidorna av en liksidig triangel ABC mäter 20 cm vardera. Beräkna höjden och arean för den polygonen.

lösning

För att bestämma området för den liksidiga triangeln är det nödvändigt att beräkna höjden, med vetande att när den ritas dividerar den triangeln i två lika rätt trianglar.

På så sätt kan den pythagoranska stolen användas för att hitta den:

till² + b²= c²

där:

a = 20/2 = 10 cm.

b = höjd.

c = 20 cm.

Uppgifterna i teorem ersätts:

10² + b² = 20²

100 cm + b² = 400 cm

b² = (400-100) cm

b² = 300cm

b = √300 cm

b = 17,32 cm.

Det betyder att triangeln är lika med 17,32 cm. Nu är det möjligt att beräkna området för den givna triangeln genom att ersätta följande formel:

Område = (b _* h) ÷ 2

Yta = (20 cm _* 17,32 cm) ÷ 2

Yta = 346,40 cm² ÷ 2

Areal = 173,20 cm².

Ett annat enklare sätt att lösa träningen är att ersätta uppgifterna i områdets direkta formel där värdet av höjden också är implicit:

Andra övningen

I ett land som har en liksidig triangelform kommer blommor att planteras. Om jordens omkrets är lika med 450 m, beräkna antalet kvadratmeter som blommorna upptar.

lösning

Att veta att omkretsen av en triangel är summan av dess tre sidor och som jord har en liksidig triangel, kommer de tre sidorna av denna har samma utsträckning eller längd:

P = sida + sida + sida = 3 _* l

3 _* l = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Nu är det bara nödvändigt att beräkna höjden på den triangeln.

Höjden delar triangeln i två kongruenta högra trianglar, där en av benen representerar höjd och den andra halvan av basen. Genom Pythagoras teorem kan höjden bestämmas:

till² + b²= c²

där:

till = 150 m ÷ 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = höjd

Uppgifterna i teorem ersätts:

(75 m)²+ b² = (150 m)²

5 625 m + b² = 22 500 m

b² = 22 500 m - 5 625 m

b² = 16.875 m

b = √16.875 m

b = 129,90 m.

Så området som kommer att ockupera blommorna kommer att vara:

Område = b * h ÷ 2

Område = (150 m _* 129,9 m) ÷ 2

Areal = (19.485 m²) ÷ 2

Yta = 9,742,5 m²

Tredje övningen

Den liksidiga triangeln ABC delas av ett linjesegment som går från dess vertex C till mittpunkten D, som ligger på motsatt sida (AB). Detta segment mäter 62 meter. Beräkna ytan och omkretsen av den liksidiga triangeln.

lösning

Att veta att den liksidiga triangeln är uppdelad av ett linjesegment motsvarande höjden, och bildar sålunda två kongruenta rätvinkliga trianglar, detta i sin tur också uppdelar toppvinkeln C vid två vinklar med samma mått, 30^eller var och en.

Höjden bildar en vinkel på 90^eller med avseende på segmentet AB, och vinkeln på vertexet A kommer då att mäta 60^eller.

Använd sedan som referens vinkeln på 30^eller, höjds-cd är etablerad som ett ben som ligger intill vinkeln och BC som hypotenus.

Från dessa data kan värdet av en av sidorna av triangeln bestämmas med hjälp av trigonometriska förhållandena:

Liksom i den liksidiga triangeln har alla sidor exakt samma mått eller längd, det betyder att varje sida av den liksidiga triangeln ABC är lika med 71,6 meter. Att veta att det är möjligt att bestämma ditt område:

Område = b * h ÷ 2

Areal = (71,6 m _* 62 m) ÷ 2

Yta = 4,438,6 m² ÷ 2

Areal = 2,219,3 m²

Omkretsen ges av summan av dess tre sidor:

P = sida + sida + sida = 3 _* l

P = 3_*l

P = 3 _* 71,6 m

P = 214,8 m.

referenser

1. Álvaro Rendón, A.R. (2004). Teknisk ritning: aktiviteter anteckningsbok.
2. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
3. Baldor, A. (1941). Algebra. Havanna: Kultur.
4. BARBOSA, J. L. (2006). Flat Euklidisk geometri. SBM. Rio de Janeiro, .
5. Coxford, A. (1971). Geometri En transformationsmetod. USA: Laidlaw Brothers.
6. Euclid, R.P. (1886). Euclids geometriska element.
7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geometri och trigonometri.
8. León Fernández, G. S. (2007). Integrerad geometri Metropolitan Technological Institute.
9. Sullivan, J. (2006). Algebra och trigonometri Pearson Education.