Binomial Theorem Demonstration and Examples

den binomialteorem är en ekvation som berättar för oss hur man utvecklar ett uttryck av formen (a + b)ⁿ för några naturliga nummer n. En binomial är inte mer än summan av två element, som (a + b). Det låter oss också veta för en term som ges av a^kb^n-k Vad är koefficienten som följer med den.

Denna teori är allmänt hänförd till den engelska uppfinnaren, fysiker och matematiker Sir Isaac Newton; Det har emellertid konstaterats att flera poster har visat att i Mellanöstern var dess existens redan känt, runt år 1000.

index

• 1 kombinatoriska nummer
• 2 Demonstration
• 3 exempel
  • 3.1 Identitet 1
  • 3.2 Identitet 2
• 4 En annan demonstration
  • 4.1 Demonstration genom induktion
• 5 Nyfikenheter
• 6 referenser

Kombinatoriska nummer

Binomialteorem berättar matematiskt följande:

I detta uttryck är a och b reella tal och n är ett naturligt tal.

Innan vi ger demonstrationen, låt oss se några grundläggande begrepp som är nödvändiga.

Det kombinatoriska talet eller kombinationerna av n i k uttrycks som följer:

Denna form uttrycker värdet på hur många deluppsättningar med k-element som kan väljas från en uppsättning n-element. Dess algebraiska uttryck ges av:

Låt oss se ett exempel: anta att vi har en grupp med sju bollar, varav två är röda och resten är blåa.

Vi vill veta hur många sätt vi kan beställa dem i rad. Ett sätt kan vara att placera de två röda i första och andra positionerna och resten av bollarna i de återstående positionerna.

På samma sätt som i föregående fall kunde vi ge de röda bollarna första respektive sista positionen och ockupera de andra med blåa bollar.

Nu, ett effektivt sätt att räkna hur många sätt vi kan beställa bollarna i rad använder de kombinatoriska talen. Vi kan se varje position som ett element i följande uppsättning:

Därefter är det bara nödvändigt att välja en delmängd av två element, där var och en av dessa element representerar den position som de röda bollarna kommer att uppta. Vi kan göra detta val enligt förhållandet som ges av:

På det sättet har vi att det finns 21 sätt att sortera sådana bollar.

Den allmänna tanken på detta exempel kommer att vara mycket användbar vid demonstrationen av binomialteoretiken. Låt oss titta på ett visst fall: om n = 4 har vi (a + b)⁴, vilket är inget annat än:

När vi utvecklar den här produkten har vi summan av de termer som erhålls genom att multiplicera ett element i var och en av de fyra faktorerna (a + b). Således kommer vi att ha villkor som kommer att vara av formen:

Om vi ​​ville få formulärets formulär till⁴, bara multiplicera på följande sätt:

Observera att det endast finns ett sätt att få detta element; men vad händer om vi nu letar efter formulärets formulär till²b²? "A" och "B" är reella tal och därför är det kommutativ lag, vi behöver ett sätt att få denna term multipliceras med medlemmar som indikeras med pilar.

Utför alla dessa operationer är det oftast ganska tråkiga, men om vi ser termen "a" som en kombination där vi vill veta hur många sätt vi kan välja två "a" av en uppsättning av fyra faktorer, kan vi använda idén om det tidigare exemplet. Så har vi följande:

Så vi vet att i den slutliga utvecklingen av uttrycket (a + b)⁴ Vi kommer att ha exakt 6a²b². Med samma idé för de andra elementen måste du:

Sedan lägger vi till de tidigare erhållna uttrycken och vi måste

Det är en formell demonstration för det allmänna fallet där "n" är ett naturligt nummer.

show

Observera att de villkor som förblir vid utveckling (a + b)ⁿ är av formen till^kb^n-k, där k = 0,1, ..., n. Med hjälp av tanken på det föregående exemplet har vi möjlighet att välja "k" variabler "a" från "n" -faktorerna är:

Genom att välja på detta sätt väljer vi automatiskt n-k variabler "b". Av detta följer att:

exempel

Med tanke på (a + b)⁵, Vad skulle vara dess utveckling?

Med binomialteorem måste vi:

Binomialteorem är mycket användbar om vi har ett uttryck där vi vill veta vad koefficienten för en viss term är utan att behöva utföra den fulla utvecklingen. Som ett exempel kan vi ta följande fråga: Vad är koefficienten för x⁷och⁹ i utvecklingen av (x + y)¹⁶?

Med binomialteorem har vi att koefficienten är:

Ett annat exempel skulle vara: vad är koefficienten för x⁵och⁸ i utvecklingen av (3x-7y)¹³?

Först skriver vi om uttrycket på ett bekvämt sätt. detta är:

Sedan använder vi binomialteoremet att den önskade koefficienten är när vi har k = 5

Ett annat exempel på användningen av denna teori är att demonstrera några gemensamma identiteter, som de som nämns nedan.

Identitet 1

Om "n" är ett naturligt nummer måste vi:

För demonstrationen använder vi binomialteorem där både "a" och "b" värderar 1. Sedan har vi:

På så sätt har vi bevisat den första identiteten.

Identitet 2

Om "n" är ett naturligt tal, då

Med binomialteorem måste vi:

En annan demonstration

Vi kan göra en annan show för Binomialsatsen hjälp av induktiva metoden och identitet pascal, som berättar att om "n" och "k" är positiva heltal med N ≥ k uppfyllda, då:

Demonstration genom induktion

Låt oss först se att den induktiva basen är uppfylld. Om n = 1 måste vi:

Vi ser faktiskt att det är uppfyllt. Nu, låt n = j så att det är uppfyllt:

Vi vill se att för n = j + 1 är det uppfyllt att:

Så måste vi:

Genom hypotesen vet vi att:

Sedan använder du fördelningsfastigheten:

Därefter utvecklar vi alla de summeringar vi har:

Nu, om vi grupperar på ett bekvämt sätt måste vi:

Med hjälp av pascals identitet måste vi:

Slutligen notera att:

Därför ser vi att binomialteorem uppfylls för alla "n" som tillhör det naturliga numret, och med detta avslutar testet.

kuriosa

Kombinato nummer (nk) kallas också binomial koefficient vara just koefficienten på utvecklingen av den binomiala (a + b)ⁿ.

Isaac Newton gav en generalisering av denna sats för det fall där exponenten är ett reellt tal; denna teori är känd som Newtons binomialteori.

Redan i antiken var detta resultat känt för det särskilda fallet där n = 2. Detta ärende nämns i element av Euclides.

referenser

1. Johnsonbaugh Richard. Diskret matematik PHH
2. Kenneth.H. Rosen. Diskret matematik och dess tillämpningar. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Diskret matematik. McGraw-Hill.
4. Ralph P. Grimaldi. Diskret och kombinationsmatematik. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Star Luis ... Diskret matematik och Combinatoria.Anthropos