Varignons teoremexempel och lösta övningar



den Varignons ståndpunkt konstaterar att om någon punkt kontinuerligt förenas med sidorna, genereras ett parallellogram. Denna teori formulerades av Pierre Varignon och publicerades 1731 i boken Element av matematik".

Bokens publicering inträffade år efter hans död. Eftersom Varignon var den som presenterade denna sats, heter parallellogrammet efter honom. Statsen är baserad på euklidisk geometri och presenterar geometriska förhållanden av fyrhjulingar.

index

  • 1 Vad är Varignons ståndpunkt??
  • 2 exempel
    • 2.1 Första exemplet
    • 2.2 Andra exemplet
  • 3 Övningar löst
    • 3.1 Övning 1
    • 3.2 Övning 2
    • 3.3 Övning 3
  • 4 referenser

Vad är Varignons ståndpunkt??

Nämnda Varignon en siffra definieras av mittpunkterna på en fyrsiding alltid resultera i en parallellogram, och detta område är alltid halv arean av fyrsidiga om är plan och konvex. Till exempel:

I figuren visar en fyrsiding med en area X, där mittpunkterna av sidorna representeras av E, F, G och H och, varvid bundna bildar en parallellogram. Fyrkantens yta kommer att vara summan av de områden av trianglarna som bildas, och hälften motsvarar området för parallellogrammet.

Eftersom parallellogrammets område är halva ytan av fyrsidan kan perimetern för detta parallellogram bestämmas.

Omkretsen är sålunda lika med summan av längderna av fyrkantens diagonaler; detta beror på att medianen av fyrsidan blir parallellogrammets diagonaler.

Å andra sidan, om längden på fyrkantens diagonaler är exakt densamma, kommer parallellogrammet att vara en diamant. Till exempel:

Från figuren framgår att en rhombus erhålls genom att gå med i mittpunkten på sidorna av fyrsidan. Om däremot fyrkantens diagonaler är vinkelräta, kommer parallellogrammet att vara en rektangel.

Även parallellogrammet kommer att vara en fyrkant när fyrsidan har diagonalerna med samma längd och också vinkelräta.

Statsen är inte bara uppfylld i platta fyrhjulingar, det är också implementerat i rumsgeometri eller i stora dimensioner; det vill säga i de fyrhjulingar som inte är konvexa. Ett exempel på detta kan vara en oktaedron, där mittpunkterna är centroiderna i varje ansikte och bildar en parallellpiped.

På så sätt kan man genom att ansluta sig till mellannivåerna i olika figurer få parallellogram. Ett enkelt sätt att kontrollera om detta verkligen är sant är att motsatta sidor måste vara parallella när de utökas.

exempel

Första exemplet

Förlängning av motsatta sidor för att visa att det är ett parallellogram:

Andra exemplet

Genom att gå med i en diamants mittpunkter får vi en rektangel:

Teorem används vid förbindelsen mellan punkter som ligger i mitten av sidorna i en fyrhörning, och kan även användas för andra punkter, såsom vid resektion, penta-sektion, eller till och med ett oändligt antal sektioner ( nth), för att dela sidor av varje fyrkant i segment som är proportionella.

Lösta övningar

Övning 1

Vi har i figuren en fyrkantig ABCD i område Z, där mittpunkterna på sidorna av detta är PQSR. Kontrollera att ett parallellogram av Varignon bildas.

lösning

Det kan verifieras att när man går med i PQSR-punkterna bildas ett parallellogram av Varignon, just för att i mitt uttalande ges en fyrfärds mittpunkter.

För att demonstrera detta är mittenpunkterna PQSR förenade, så det kan ses att en annan fyrkant bildas. För att visa att det är ett parallellogram måste du bara dra en rak linje från punkt C till punkt A så att du kan se att CA är parallell med PQ och RS.

På samma sätt kan genom att förlänga PQRS-sidorna noteras att PQ och RS är parallella, såsom visas i följande bild:

Övning 2

Den har en rektangel så att längderna på alla sidor är lika. Genom förening av de mittpunkterna på de sidor det är utformad med en romb ABCD, som är uppdelad av två diagonaler AC och BD = 7cm = 10cm, som sammanfaller med de åtgärder på sidorna av rektangeln. Bestäm diamant- och rektangelområdena.

lösning

Att påminna om att det område av den resulterande parallellogram är halv av ringen, kan bestämma arean av dessa känna till omfattningen av de diagonaler sammanfaller med sidorna av rektangeln. Så du måste:

AB = D

CD = d

ENrektangel = (AB * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm2

ENromb = A rektangel / 2

ENromb = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Övning 3

Vi har i figuren en fyrkant som har fackföreningen av punkterna EFGH, längden på segmenten ges. Bestäm om facket av EFGH är ett parallellogram.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

lösning

Med tanke på segmentens längder är det möjligt att verifiera om det finns proportionalitet mellan segmenten; det vill säga vi kan veta om dessa är parallella, relaterar segmenten av fyrsidan på följande sätt:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Då kontrolleras proportionaliteten, eftersom:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

På samma sätt kan vi se att EH är parallell med BD, precis som BD är parallell med FG när vi skriver en linje från punkt B till punkt D. Å andra sidan är EF parallellt med GH.

På detta sätt kan det bestämmas att EFGH är ett parallellogram, eftersom de motsatta sidorna är parallella.

referenser

  1. Andres, T. (2010). Matematisk Olympiad Tresure. Springer. New York.
  2. Barbosa, J. L. (2006). Flat Euklidisk geometri. SBM. Rio de Janeiro.
  3. Howar, E. (1969). Studie av geometrier. Mexiko: Latinamerikansk - Amerikansk.
  4. Ramo, G.P. (1998). Okända lösningar på problemen med Fermat-Torricelli. ISBN - Oberoende arbete.
  5. Vera, F. (1943). Element av geometri. Bogotá.
  6. Villiers, M. (1996). Några äventyr i euklidisk geometri. Sydafrika.