Dela med sig:
Tales of Miletus teorem Första, andra och exempel
Den första och den andra Thales of Miletus teoremetod De är baserade på att bestämma trianglar från andra liknande (första teorem) eller omkretsar (andra teorem). De har varit mycket användbara på olika områden. Till exempel visade den första teorin sig mycket användbar för att mäta stora strukturer när det inte fanns några sofistikerade mätinstrument.
Thales of Miletus var en grekisk matematiker som gav stora bidrag till geometri, varav dessa två teoremer sticker ut (i vissa texter skriver de också det som Thales) och deras användbara tillämpningar. Dessa resultat har använts i historia och har medfört att man kan lösa ett stort antal geometriska problem.
index
- 1 första teorem av talar
- 1.1 Ansökan
- 1,2 exempel
- 2 andra teorem av talar
- 2.1 Ansökan
- 2,2 Exempel
- 3 referenser
Första teorem av Tales
Tales första ståndpunkt är ett mycket användbart verktyg som bland annat tillåter att bygga en triangel som liknar en annan, tidigare känd. Härifrån härleda olika versioner av teorem som kan tillämpas i flera sammanhang.
Innan du ger ditt uttalande, kom ihåg några begrepp om likhet med trianglar. I huvudsak är två trianglar lika om deras vinklar är kongruenta (de har samma mått). Detta ger upphov till det faktum att om två trianglar är likartade är deras motsvarande sidor (eller homologer) proportionella.
Thales första ståndpunkt säger att om en rak linje i en given triangel dras parallellt med någon av dess sidor kommer den nya triangeln att likna den första triangeln.
Du får också en relation mellan de vinklar som bildas, vilket ses i följande figur.
ansökan
Bland dess många tillämpningar belyser ett särskilt intresse och har att göra med en av de sätt på vilka mätningar av stora konstruktioner gjordes i gamla tider, tiden som han levde Tales och var inte räknat med moderna mätinstrument de existerar nu.
Det sägs att detta var hur Thales lyckades mäta den högsta pyramiden i Egypten, Cheops. För detta antydde Thales att solstrålarnas reflektioner rörde marken som bildar parallella linjer. Under detta antagande fastnade han en stång eller sockerstång vertikalt i marken.
Användes sedan han likheten mellan de två resulterande trianglarna, en som bildats genom längden av skuggan av pyramiden (som kan beräknas lätt) och höjden av pyramiden (ålder), och den andra bildas av längder av skuggan och stångens höjd (som också lätt kan beräknas).
Med proportionaliteten mellan dessa längder kan du rensa och känn pyramidens höjd.
Även om denna mätmetod kan ge ett signifikant fel approximativt med hänsyn till höglighetsnoggrannheten och beror på solens strålens parallellitet (som i sin tur beror på en exakt tid) måste vi inse att det är en mycket genial idé och det gav ett bra mätalternativ för tiden.
exempel
Hitta värdet av x i varje fall:
lösning
Här har vi två linjer skuren av två parallella linjer. Vid Thales första stämning har vi att deras respektive sidor är proportionella. I synnerhet
lösning
Här har vi två trianglar, en av dessa bildade av ett segment parallellt med en av sidans sidor (exakt sidan av längden x). Vid Tales första ståndpunkt måste du:
Second Story of Tales
Thales andra teori bestämmer en rätt triangel inskriven på en omkrets i varje punkt av samma.
En triangel som är inskriven på en omkrets är en triangel vars hörn är på omkretsen, därmed innehas i detta.
Specifikt, den andra satsen Sådana tillstånd: givet en omkrets på centrum O och diameter AC, varje punkt B av omkretsen (andra än A och C) bestämmer en triangel ABC med rät vinkel För att motivera, notera att både OA och OB och OC motsvarar omkretsens radie; därför är deras mätningar desamma. Därifrån uppnås att trianglarna OAB och OCB är isosceles, var Det är känt att summan av en triangels vinklar är lika med 180º. Använda detta med triangeln ABC måste du: 2b + 2a = 180º. Likvärdigt har vi b + a = 90º och b + a = Observera att den rätta triangeln från Thales andra teorem är exakt den vars hypotenus är lika med diameteren av omkretsen. Därför är det helt bestämt av halvcirkeln som innehåller punkterna i triangeln; i det här fallet den övre halvcirkeln. Notera också att i den högra triangeln erhållen med Thales andra teorem, är hypotenusen uppdelad i två lika delar av OA och OC (radien). Denna åtgärd är i sin tur lika med segment OB (även radien), vilket motsvarar medianen av triangeln ABC av B. Med andra ord bestäms längden på medianen av den högra triangeln ABC som motsvarar vertexen B helt av hälften av hypotenusen. Minns att medianen av en triangel är segmentet från en av punkterna till mittpunkten på motsatt sida; i det här fallet BO-segmentet. Ett annat sätt att se Thales andra teorem är genom en cirkel omkrets en rätt triangel. I allmänhet består en cirkel avgränsad till en polygon av omkretsen som passerar genom var och en av dess hörn, närhelst det är möjligt att spåra det. I med användning av andra sats sådan ges en rätvinklig triangel, kan vi alltid konstruera en circumcircle till detta, med en radie som är lika med hälften av hypotenusan och circumcenter (centrum av den cirkel) som mittpunkten på hypotenusan. En mycket viktig tillämpning av Tales andra teoremetod, och kanske den mest använda, är att hitta tangentlinjerna i en given omkrets, med en punkt P extern till detta (kända). Notera att givet en omkrets (dras i blått i figuren nedan) och en yttre punkt P, finns det två tangenter till omkretsen som passerar genom P. Sean T och T 'de tangentpunkter, r radien för cirkeln och Eller centrum. Det är känt att segmentet som går från mitten av en cirkel till en punkt av tangens av det, är vinkelrätt mot denna tangentlinje. Då är OTP-vinkeln rak. Från vad vi såg tidigare i Thales första teori och dess olika versioner ser vi att det är möjligt att skriva in OTP-triangeln i en annan omkrets (i rött). Analogt erhålls att OT'P-triangeln kan skrivas in i samma tidigare omkrets. För den andra tillsatsen theorem Sådan erhåller vi den nya cirkeldiameter är just hypotenusan av triangeln OTP (som är lika med hypotenusan av triangeln OT'P), och centrum är mittpunkten av hypotenusan. För att beräkna mitten av den nya omkretsen är det då tillräckligt att beräkna mittpunkten mellan mitten - säg M - av den ursprungliga omkretsen (som vi redan vet) och punkten P (som vi också vet). Då kommer radie att vara avståndet mellan denna punkt M och P. Med radien och mitten av den röda cirkeln kan vi hitta sin kartesiska ekvation, som vi kommer ihåg ges av (x-h)2 + (Y-k)2 = c2, där c är radie och punkten (h, k) är mitt i cirkeln. Genom att nu veta ekvationerna i båda omkretsarna kan vi korsa dem genom att lösa det ekvationssystem som bildas av dessa och därigenom erhålla punkterna av tangens T och T '. Slutligen, för att möta de önskade tangenter, bara hitta ekvationen för de raka linjerna passerar T och P, och T 'och P. Betrakta en omkrets med diameter AC, centrum O och radie 1 cm. Låt B vara en punkt på omkretsen så att AB = AC. Hur mycket mäter AB? För den andra satsen vi har sådan triangel ABC är rektangel och hypotenusan motsvarar diametern, som i detta fall är 2 cm (radien är 1 cm). Sedan, genom Pythagoras teorem måste vi:
Omskriven omkrets
ansökan
exempel
lösning
referenser