Moivre satser på vad som består av, demonstration och lösta övningar

den Moivre satser tillämpar grundläggande algebraprocesser, såsom krafter och utvinning av rötter i komplexa tal. Stolen uttrycktes av den berömda franska matematikern Abraham de Moivre (1730), som associerade komplexa tal med trigonometri.

Abraham Moivre gjorde denna förening genom bröst och cosinus uttryck. Denna matematiker genererade en slags formel genom vilken det är möjligt att höja ett komplext tal z till kraftn n, vilket är ett positivt heltal större än eller lika med 1.

index

• 1 Vad är Moivre-steget??
• 2 Demonstration
  • 2.1 induktiv bas
  • 2.2 Induktiv hypotes
  • 2.3 Kontroll
  • 2.4 Negativt heltal
• 3 Övningar löst
  • 3.1 Beräkning av positiva krafter
  • 3.2 Beräkning av negativa krafter
• 4 referenser

Vad är Moivre-steget??

Moivre satser anger följande:

Om du har ett komplext tal i polärformen z = r_ɵ, där r är modulen för det komplexa talet z och vinkeln ɵ det kallas amplitud eller argument i någon komplext tal med 0 ≤ ɵ ≤ 2π, för att beräkna den n: te effekt inte behöver multipliceras med sig själv med n gångers; det vill säga det är inte nödvändigt att göra följande produkt:

Zⁿ = z _* z _* z_{* ... *} z = r_{* *} r_{* *} r_{* * ... *} r_ɵ   n gångers.

Tvärtom säger teorem att när vi skriver z i sin trigonometriska form, för att beräkna nth effekten, fortsätter vi som följer:

Om z = r (cos + + i _* synden)) då zⁿ = rⁿ (cos n * + + i _* synd n *)).

Till exempel, om n = 2, sedan z² = r²[cos 2 ()) + i sin 2 ())]. Om du har det n = 3, så z³ = z² _* z. Dessutom:

z³ = r²[cos 2 ()) + i synd 2 ())] _* r [cos 2 (∩) + i sin 2 (∩)] = r³[cos 3 ()) + i synd 3 ())].

På detta sätt kan trigonometriska förhållandena för sinus och cosinus erhållas för multiplar av en vinkel, så länge som de vinkelmässiga trigonometriska förhållandena för vinkeln är kända..

På samma sätt kan det användas för att hitta mer exakta och mindre förvirrande uttryck för den n: a roten av ett komplext tal z, så att zⁿ = 1.

Att bevisa teoremet om Moivre principen om matematisk induktion används: om ett heltal "a" har ett "P" egendom, och om för varje heltal "n" större än "a" som har egenskapen "P" är uppfyller att n + 1 också har egenskapen "P", då har alla heltal större än eller lika med "a" egenskapen "P".

show

På så sätt görs teoremets bevis med följande steg:

Induktiv bas

Kontrollera först för n = 1.

Gilla z¹ = (r (cos + + i _* sen)))¹ = r¹ (cos + + i _* sen))¹ = r¹ [cos (1_* )) + I _* sen (1_* ))], Vi har det för n = 1 är stämningen uppfylld.

Induktiv hypotes

Det antas att formeln är sann för något positivt heltal, det vill säga n = k.

z^k = (r (cos + + i _* sen)))^k  = r^k (cos k + + i _* sen k)).

testning

Det har visat sig vara sant för n = k + 1.

Gilla z^{k + 1}= z^k _* z, sedan z^{k + 1} = (r (cos + + i _* sen)))^{k + 1} = r^k (cos kiv + i _* sen k)) _*  r (cos + + i_* senƟ).

Då multiplicerar uttrycken:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos k))_*(cosı) + (cos k))_*(i_*seni) + (i _* sen k))_*(cos) + (i _* sen k))_*(i_* senƟ)).

För en stund ignoreras r-faktorn^{k + 1},  och vanlig faktor i är borttagen:

(cos k))_*(cosı) + i (cos k))_*(sin) + i (sen)_*(cosi) + i²(sen k))_*(SenƟ).

Hur jag² = -1, vi ersätter det i uttrycket och vi får:

(cos k))_*(cosı) + i (cos k))_*(sin) + i (sen)_*(cosı) - (sen k))_*(SenƟ).

Nu beställs den verkliga och den imaginära delen:

(cos k))_*(cosı) - (sen k))_*(sin) + i [(sen k))_*(cosı) + (cos k))_*(SenƟ)].

För att förenkla uttrycket tillämpas de trigonometriska identiteterna av summan av vinklar för cosinus och sinus, vilka är:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

sen (A + B) = synd A _* cos B - cos A _* cos B.

I detta fall är variablerna vinklarna and och k½. Använda de trigonometriska identiteterna har vi:

cos kıl _* cosƟ -  sen k. _* seni = cos (kiv +))

sen k. _* cos + cos cos _* seni = sen (k½ +))

På detta sätt förblir uttrycket:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kiv + γ) + i _* sen (kiv +)))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1)]] + i _* sen [(k +1)]]).

Således kunde det visas att resultatet är sant för n = k + 1. Enligt principen om matematisk induktion dras slutsatsen att resultatet är sant för alla positiva heltal; det vill säga n ≥ 1.

Heltal negativ

Moivres teori tillämpas också när n ≤ 0. Tänk på ett negativt heltal "n"; då kan "n" skrivas som "-m", det vill säga n = -m, där "m" är ett positivt heltal. därför:

(cos + + i _* sen))ⁿ = (cos + + i _* sen)) ^-m

För att få exponenten "m" på ett positivt sätt skrivs uttrycket omvändt:

(cos + + i _* sen))ⁿ = 1 ÷ (cos + + i _* sen)) ^m

(cos + + i _* sen))ⁿ = 1 ÷ (cos m ^ + i _* sen)

Nu används det att om z = a + b * i är ett komplext tal, då 1 ÷ z = a-b * i. därför:

(cos + + i _* sen))ⁿ = cos (mí) - i _* sen (mí).

Med cos (x) = cos (-x) och att -sen (x) = sin (-x) måste vi:

(cos + + i _* sen))ⁿ = [cos (m ^) - i _* sen (mí)]

(cos + + i _* sen))ⁿ = cos (- m) + i _* sen (-mí)

(cos + + i _* sen))ⁿ = cos (n) - i _* sen (n).

På så sätt kan vi säga att teoremet gäller alla heltalvärden av "n".

Lösta övningar

Beräkning av positiva krafter

En av operationerna med komplexa tal i sin polära form är multiplikationen mellan två av dessa; i så fall multipliceras modulerna och argumenten läggs till.

Om du har två komplexa tal z₁ och z₂ och du vill beräkna (z₁* z₂)², Då fortsätter vi enligt följande:

z₁z₂ = [r₁ (cos.₁ + jag _* sen.₁)] * [r₂ (cos.₂ + jag _* sen.₂)]

Distributionsfastigheten tillämpas:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos._{1 *} cos.₂ + jag _* cos._{1 *} jag _* sen.₂ + jag _* sen._{1 *} cos.₂ + jag²_* sen._{1 *} sen.₂).

De är grupperade och tar termen "jag" som en vanlig expressionsfaktor:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos._{1 *} cos.₂ + jag (cos._{1 *} sen.₂ + sen._{1 *} cos.₂) + i²_* sen._{1 *} sen.₂]

Hur jag² = -1, ersätts i uttrycket:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos._{1 *} cos.₂ + jag (cos._{1 *} sen.₂ + sen._{1 *} cos.₂) - sen._{1 *} sen.₂]

De reella termerna omgrupperas med verkliga och imaginära med imaginära:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos._{1 *} cos.₂ - sen._{1 *} sen.₂) + i (cos._{1 *} sen.₂ + sen._{1 *} cos.₂)]

Slutligen appliceras de trigonometriska egenskaperna:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (.₁ + ɵ₂) + i sen (.₁ + ɵ₂)].

Sammanfattningsvis:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (.₁ + ɵ₂) + i sen (.₁ + ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2 * (.₁ + ɵ₂) + i sen 2 * (.₁ + ɵ₂)].

Övning 1

Skriv det komplexa numret i polär form om z = -2-2i. Därefter beräknar du med Moivres teorem z⁴.

lösning

Det komplexa talet z = -2 -2i uttrycks i rektangulär form z = a + bi, där:

a = -2.

b = -2.

Att veta att polärformen är z = r (cos + + i _* synd)), måste du bestämma värdet på "r" -modulen och värdet av "" "-argumentet. Som r = √ (a² + b²) ersätts de givna värdena:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Då, för att bestämma värdet av "∩", tillämpas den rektangulära formen av denna, vilken ges av formeln:

solbränna = = b ÷ a

tan = = (-2) ÷ (-2) = 1.

Som tan ()) = 1 och du måste<0, entonces se tiene que:

= = Arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5/4.

Eftersom värdet av "r" och "" "redan erhölls, kan det komplexa talet z = -2 -2i uttrycks i den polära formen genom att ersätta värdena:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5/4)).

Nu används Moivre teorem för att beräkna z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5/4))⁴

= 32 (cos (5) + i _* sen (5Π)).

Övning 2

Hitta produkten av de komplexa talen genom att uttrycka den i sin polära form:

z1 = 4 (cos 50^eller + jag_* 50 sen^eller)

z2 = 7 (cos 100^eller + jag_* 100 sen^eller).

Beräkna sedan (z1 * z2) ².

lösning

Först bildas produkten av de angivna talen:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^eller + jag_* 50 sen^eller)] * [7 (cos 100^eller + jag_* 100 sen^eller)]

Multiplicera sedan modulerna tillsammans och lägg till argumenten:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50^eller + 100^eller) + i_* sen (50^eller + 100^eller)]

Uttrycket förenklas:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^eller + (i_* 150 sen^eller).

Slutligen tillämpas Moivre teorin:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^eller + (i_* 150 sen^eller)) ² = 784 (cos 300)^eller + (i_* 300 sen^eller)).

Beräkning av negativa krafter

Att dela två komplexa tal z₁ och z₂ i sin polära form är modulen uppdelad och argumenten subtraheras. Således är kvoten z₁ ÷ z₂ och det uttrycks som följer:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (.₁- ɵ₂) + i sen (.₁ - ɵ₂)]).

Som i föregående fall, om du vill beräkna (z1 ÷ z2) ³ först delas upp och sedan används Moivre-steget.

Övning 3

ges:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

beräkna (z1 ÷ z2) ³.

lösning

Genom att följa stegen beskrivna ovan kan man dra slutsatsen att

(Z1 z2 ÷) ³ = ((4/12) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2)))

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

referenser

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
2. Croucher, M. (s.f.). Från Moivers teorem för Trig Identities. Wolfram Demonstration Project.
3. Hazewinkel, M. (2001). Matematikens encyklopedi.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra och trigonometri.
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (s.f.). Linjär algebra Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalculus. Pearson Education.