Matematiskt logiskt ursprung, vilka studier, typer



den matematisk logik eller symbolisk logik är ett matematiskt språk som innehåller de nödvändiga verktygen genom vilka matematisk resonemang kan bekräftas eller nekas.

Det är välkänt att det inte finns några tvetydigheter i matematiken. Med tanke på ett matematiskt argument är detta giltigt eller helt enkelt inte. Det kan inte vara falskt och sant samtidigt.

En särskild aspekt av matematiken är att den har ett formellt och strikt språk genom vilket validiteten av en resonemang kan bestämmas. Vad är det som gör viss resonemang eller något matematiskt bevis oåterkalleligt? Det är vad matematisk logik handlar om.

Således är logiken matematikens disciplin som ansvarar för att studera matematisk resonemang och demonstrationer och ge verktygen möjlighet att kunna dra slutsatsen från tidigare uttalanden eller propositioner.

För att göra detta använder den axiom och andra matematiska aspekter som kommer att utvecklas senare.

index

  • 1 Ursprung och historia
    • 1.1 Aristoteles
  • 2 Vilka matematiska logikstudier?
    • 2.1 Förslag
    • 2.2 Sanningstabeller
  • 3 Typer av matematisk logik
    • 3.1 Områden
  • 4 referenser

Ursprung och historia

De exakta datumen med avseende på många aspekter av matematisk logik är osäkra. Men de flesta av bibliografierna om ämnet spåra ursprunget till detta till det antika Grekland.

Aristoteles

I början av den rigorösa behandlingen av logik tillskrivs delvis Aristoteles, som skrev en serie verk på logik, som senare sammanställs och utvecklats av olika filosofer och vetenskapsmän fram till medeltiden. Detta kan betraktas som "den gamla logiken".

Därefter, där kallas Contemporary Age, Leibniz, som drivs av en djup önskan att upprätta ett universellt språk för att resonera matematiskt och andra matematiker som Gottlob Frege och Giuseppe Peano, särskilt påverkat utvecklingen av matematisk logik med stora bidrag , inbegripet peanos axiom, att formulera väsentliga egenskaper hos naturliga tal.

Var också inflytelserik just nu matematiker George Boole och Georg Cantor, med viktiga bidrag till mängdlära och sanningstabeller, som markerade, bland annat Boolean algebra (av George Boole) och urvalsaxiomet (av George Cantor).

Augustus De Morgan även med de kända lagar Morgan, överväger negationer, konjunktioner, avskiljts och villkors mellan propositioner, nyckeln till utvecklingen av Symbolic Logic och den berömda John venndiagram Venn.

Under 1900-talet, ungefär mellan 1910 och 1913, utmärker Bertrand Russell och Alfred North Whitehead med deras publicering av Principia mathematica, en uppsättning böcker som samlar, utvecklar och postulerar en rad axiom och logiska resultat.

Vilka matematiska logikstudier?

satser

Matematisk logik börjar med studien av propositioner. Ett förslag är en bekräftelse att utan tvekan kan sägas om det är sant eller inte. Följande är exempel på propositioner:

  • 2 + 4 = 6.
  • 52= 35.
  • År 1930 fanns en jordbävning i Europa.

Den första är en sann proposition och den andra är en falsk proposition. Den tredje, även om det är möjligt att den som läser den inte vet om det är sant eller omedelbart, är det ett uttalande som kan verifieras och bestämas om det verkligen hände eller inte.

Följande är exempel på uttryck som inte är propositioner:

  • Hon är blondin.
  • 2x = 6.
  • Låt oss spela!
  • Gillar du biografen?

I den första propositionen specificeras inte vem hon är, därför kan inget bekräftas. I det andra förslaget är det som anges med "x" inte specificerat. Om istället sägs att 2x = 6 för något naturligt tal x, skulle det i detta fall motsvara ett förslag, faktiskt sant, eftersom för x = 3 är det uppfyllt.

De två sista påståenden motsvarar inte ett förslag, eftersom det inte finns något sätt att förneka eller bekräfta dem.

Två eller flera propositioner kan kombineras (eller anslutas) med de kända kontaktanslutningarna (eller kontakterna). Dessa är:

  • Förnekelse: "Det regnar inte".
  • Disjunktion: "Luisa köpte en vit eller grå väska".
  • Konjunktion: "42= 16 och 2 × 5 = 10 ".
  • Villkorligt: ​​"Om det regnar, så går jag inte till gymmet i eftermiddag".
  • Biconditional: "Jag går till gymmet i eftermiddag om, och bara om det inte regnar".

En proposition som inte har någon av de tidigare förbindelserna kallas för enkel proposition (eller atom). Till exempel är "2 mindre än 4", en enkel proposition. De propositioner som har några bindemedel kallas föreslagna propositioner, som till exempel "1 + 3 = 4 och 4 är ett jämnt tal".

Uttalandena genom förslag är vanligtvis långa, så det är tråkigt att skriva dem alltid som vi hittills har sett. Av detta skäl används ett symboliskt språk. Förslag representeras vanligtvis av stora bokstäver som P, Q, R, S, etc. Och den symboliska kopplingen enligt följande:

Så det

den reciprok av ett villkorligt förslag

är propositionen

Och contrapositive (eller motsats) av ett förslag

är propositionen

Sanningstabeller

Ett annat viktigt begrepp i logiken är sanningstabellerna. Sanningsvärdena för en proposition är de två alternativ som du har för en proposition: true (som betecknas med V och berätta sin sanningsvärde är V) eller falskt (som betecknas med F och säga att dess värde det är verkligen F).

Sanningsvärdet av ett föreslagna proposition beror uteslutande på sanningsvärdena för de enkla propositionerna som framträder i den.

För att arbeta mer generellt kommer vi inte att överväga specifika propositioner, utan propositionella variabler p, q, r, s, etc., som kommer att representera några förslag.

Med dessa variabler och de logiska anslutningarna bildas de välkända propositionella formlerna precis som sammansatta uttalanden konstrueras.

Om varje variabel som visas i en propositionell formel ersätts av ett förslag, erhålls en sammansatt proposition.

Nedan finns sanningstabellerna för logiska anslutningar:

Det finns propositionella formler som endast mottar värdet V i deras sanningstabell, det vill säga den sista kolumnen i deras sanningstabell har bara värdet V. Denna typ av formler är kända som tautologier. Till exempel:

Följande är sanningstabellen med formeln

Det sägs att en formel α logiskt innebär en annan formel β, om α är sant varje gång β är sant. Det är i sanningstabellen av α och β, raderna där α har en V, β har också en V. Endast de rader där α har värdet V är av intresse. Notationen för logisk implikation är följande :

Följande tabell sammanfattar egenskaperna hos den logiska implikationen:

Det sägs att två propositionella formler är logiskt likvärdiga om deras sanningstabeller är identiska. Följande notation används för att uttrycka den logiska ekvivalensen:

Följande tabeller sammanfattar egenskaperna hos den logiska ekvivalensen:

Typer av matematisk logik

Det finns olika typer av logik, särskilt om man tar hänsyn till den pragmatiska eller informella logiken som pekar på filosofin, bland andra områden.

Vad gäller matematik kan typerna av logik sammanfattas enligt följande:

  • Formell eller Aristotelisk Logik (Ancient Logic).
  • Propositional logic: ansvarar för studier av allt relaterat till validiteten av argument och propositioner med ett formellt språk och även symboliska.
  • Symbolisk logik: Inriktad på studier av uppsättningar och deras egenskaper, även med ett formellt och symboliskt språk, och är djupt kopplade till propositionell logik.
  • Kombinatorisk logik: En av de senast utvecklade, inbegriper resultat som kan utvecklas av algoritmer.
  • Logisk programmering: används i olika paket och programmeringsspråk.

områden

Bland de områden som utnyttjar matematisk logik så viktigt i utvecklingen av deras resonemang och argument, de betonar filosofin, mängdlära, talteori, algebraiska konstruktiva matematik och programmeringsspråk.

referenser

  1. Aylwin, C. U. (2011). Logik, uppsättningar och siffror. Mérida - Venezuela: Publikationsrådet, Universidad de Los Andes.
  2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introduktion till talteori. EUNED.
  3. Castañeda, S. (2016). Grundkurs i talteori. University of the North.
  4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Hur man utvecklar matematisk logisk skäl. Universitetsredaktionellt.
  5. Zaragoza, A.C. (s.f.). Teori av siffror. Editorial Vision Books.