Vector Algebra Basics, Magnitudes, Vectors



den vektor algebra är en gren av matematik som är ansvarig för att studera system av linjära ekvationer, vektorer, matriser, vektorrum och deras linjära transformationer. Det är relaterat till områden som teknik, lösning av differentialekvationer, funktionell analys, operationsforskning, datorgrafik, bland annat..

Ett annat område som har antagit den linjära algebra är fysik, för att genom detta har utvecklats för att studera fysiska fenomen som beskriver dem genom användning av vektorer. Detta har möjliggjort en bättre förståelse av universum.

index

  • 1 Fundamentals
    • 1.1 Geometriskt
    • 1,2 analytiskt
    • 1.3 Axiomatiskt
  • 2 magnituder
    • 2.1 skalär storlek
    • 2.2 Vektorformat
  • 3 Vad är vektorerna?
    • 3.1 Modul
    • 3.2 Adress
    • 3.3 Sense
  • 4 Klassificering av vektorer
    • 4.1 Fast vektor
    • 4.2 Gratis vektor
    • 4.3 Glidande vektor
  • 5 egenskaper hos vektorer
    • 5,1 equipolentes-vektorer
    • 5,2 ekvivalenta vektorer
    • 5.3 Likvärdiga vektorer
    • 5.4 Motsatt vektorer
    • 5,5 Enhetsvektor
    • 5,6 Nullvektor
  • 6 Komponenter av en vektor
    • 6.1 Exempel
  • 7 Operationer med vektorer
    • 7.1 Lägga till och subtrahera vektorer
    • 7.2 Multiplikation av vektorer
  • 8 referenser

fundament

Vector algebra härstammar från studier av quaternions (förlängning av reella tal) 1, i, j, k, liksom cartesianska geometri främjas av Gibbs och Heaviside, som insåg att vektor fungera som ett verktyg för representerar olika fysiska fenomen.

Vektoralgebra studeras genom tre fundament:

geometriskt

Vektorerna representeras av linjer som har en orientering och operationerna såsom addition, subtraktion och multiplikation med reella tal definieras genom geometriska metoder.

analytiskt

Beskrivningen av vektorerna och deras operationer görs med siffror, som kallas komponenter. Denna typ av beskrivning är resultatet av en geometrisk representation eftersom ett koordinatsystem används.

axiomatiskt

En beskrivning av vektorerna görs oberoende av koordinatsystemet eller någon typ av geometrisk representation.

Studien av figurer i rymden görs genom deras representation i ett referenssystem, som kan vara i en eller flera dimensioner. Bland de viktigaste systemen är:

- Ettdimensionellt system, vilket är en linje där en punkt (O) representerar ursprunget och en annan punkt (P) bestämmer skalan (längden) och riktningen av den:

- Rektangulärt koordinatsystem (tvådimensionellt), som består av två vinkelräta linjer som kallas x-axel och y-axel, som passerar genom ett punkt (O) På detta sätt är planet uppdelat i fyra regioner som kallas kvadranter. I detta fall ges en punkt (P) i planet av de avstånd som finns mellan axlarna och P.

- Polärt koordinatsystem (tvådimensionellt). I detta fall består systemet av en punkt O (ursprung) som kallas en pol och en stråle med ursprung O kallad polaraxel. I detta fall ges punkten P för planet, med hänvisning till polen och polaraxeln, av vinkeln ()) som bildas av avståndet mellan ursprunget och punkten P.

- Rektangulärt tredimensionellt system, bildat av tre vinkelräta linjer (x, y, z) som har ursprung som en punkt O i rymden. Tre koordinatplan bildas: xy, xz och yz; utrymmet kommer att delas in i åtta regioner som kallas oktanter. Referensen för en punkt P i rymden ges av de avstånd som finns mellan planen och P.

magnituder

En magnitud är en fysisk kvantitet som kan räknas eller mätas genom ett numeriskt värde, som i fallet med vissa fysiska fenomen. Det är emellertid ofta nödvändigt att kunna beskriva dessa fenomen med andra faktorer som inte är numeriska. Det är därför storheterna är indelade i två typer:

Skalär storlek

De är de kvantiteter som definieras och representeras numeriskt; det vill säga av en modul tillsammans med en måttenhet. Till exempel:

a) Tid: 5 sekunder.

b) Massa: 10 kg.

c) Volym: 40 ml.

d) Temperatur: 40ºC.

Vektorformat

De är de kvantiteter som definieras och representeras av en modul tillsammans med en enhet, såväl som av en känsla och riktning. Till exempel:

a) Hastighet: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Acceleration: 13 m / s2; S 45º E.

c) Kraft: 280 N, 120º.

d) Vikt: -40 ĵ kg-f.

Vektormagnetiteter representeras grafiskt av vektorer.

Vad är vektorerna?

Vektorer är grafiska representationer av en vektorstyrka; det vill säga de är segment av rak linje där deras sista ände är toppen av en pil.

Dessa bestäms av deras modul eller segmentlängd, deras känsla som indikeras av pilens spets och deras riktning enligt den linje som de tillhör. Ursprunget för en vektor är också känd som applikationspunkten.

Elementen i en vektor är följande:

modul

Det är avståndet från ursprunget till slutet av en vektor, representerad av ett reellt tal tillsammans med en enhet. Till exempel:

| OM | = | A | = A = 6 cm

adress

Det är måttet på den vinkel som existerar mellan x-axeln (från det positiva) och vektorn, såväl som kardinalpunkterna (norr, syd, öst och väst) används.

känsla

Den ges av pilhuvudet som ligger i slutet av vektorn, vilket indikerar var detta är på väg.

Vektorer klassificering

Generellt klassificeras vektorer som:

Fast vektor

Det är den vars tillämpningsområde (ursprung) är fast; det vill säga att den förbinds till en punkt i rymden, anledningen till att den inte kan förskjutas i detta.

Gratis vektor

Den kan röra sig fritt i rymden, eftersom dess ursprung rör sig till någon sak utan att ändra dess modul, känsla eller riktning.

Glidande vektor

Det är den som kan flytta sitt ursprung längs sin handlingslinje utan att ändra sin modul, sinne eller riktning.

Vektorer egenskaper

Bland de viktigaste egenskaperna hos vektorer är följande:

Equipolentesvektorer

De är de fria vektorerna som har samma modul, riktning (eller de är parallella) och känner att en glidande vektor eller en fast vektor.

Ekvivalenta vektorer

Det händer när två vektorer har samma adress (eller är parallella), samma mening, och trots att de har olika moduler och applikationspunkter, ger de samma effekter.

Likvärdiga vektorer

De har samma modul, riktning och känsla, även om deras utgångspunkter är olika, vilket gör det möjligt för en parallellvektor att röra sig utan att påverka det..

Motsatt vektorer

De är de som har samma modul och riktning, men deras känsla är motsatt.

Vektorenhet

Det är det där modulen är lika med enheten (1). Detta erhålls genom att dividera vektorn genom dess modul och används för att bestämma riktningen och känsla av en vektor, antingen i planet eller i rymden, med användning av de basvektorer normaliserade eller enhet, som är:

Nullvektor

Det är den vars modul är lika med 0; det vill säga, deras ursprungsställe och extrema sammanfaller i samma punkt.

Komponenter av en vektor

Komponenterna i en vektor är de värdena för utsprången av vektorn på referenssystemets axlar. Beroende på sönderdelningen av vektorn, som kan vara i två eller tredimensionella axlar, erhålls två eller tre komponenter.

Komponenterna i en vektor är reella tal, som kan vara positiva, negativa eller till och med noll (0).

Således om det är en A-vektor, härrör från ett rektangulärt koordinatsystem i xy (tvådimensionell) planet projektionen på x-axeln är x och utsprånget på y-axeln är AY. Således kommer vektorn att uttryckas som summan av dess komponentvektorer.

exempel

Första exemplet

Vi har en vektor  som börjar från ursprunget och koordinaterna till dess ändar ges. Således är vektorn  = (Āx; ENoch) = (4; 5) cm.

Om En vektor verkar vid ursprunget till ett koordinatsystem av tredimensionella triangulära (i rymden) x, y, z, till en annan punkt (P), projektionerna av deras axlar är Ax, Ay och Az; sålunda kommer vektorn att uttryckas som summan av dess trekomponentvektorer.

Andra exemplet

Vi har en vektor  som börjar från ursprunget och koordinaterna till dess ändar ges. Således är vektorn  = (Ax; ENoch; ENz) = (4; 6; -3) cm.

De vektorer som har sina rektangulära koordinater kan uttryckas i termer av deras basvektorer. För detta måste endast varje koordinat multipliceras med sin respektive enhetsvektor på ett sådant sätt att för planet och utrymmet kommer de att vara följande:

För planet: Â = Axjag + Aochj.

För utrymmet: Â = Axjag + Aochj + Azk.

Operationer med vektorer

Det finns många magnituder som har en modul, känsla och riktning, såsom acceleration, hastighet, förskjutning, kraft bland andra..

Dessa tillämpas på olika områden av vetenskapen, och för att tillämpa dem är det i vissa fall nödvändigt att utföra operationer som tillägg, subtraktion, multiplikation och delning av vektorer och skalärer.

Addition och subtraktion av vektorer

Tillsatsen och subtraktionen av vektorer anses vara en enda algebraisk operation eftersom subtraktionen kan skrivas som summa; till exempel kan subtraktion av vektorerna  och Ē uttryckas som:

 - Ē = Ā + (-Ē)

Det finns olika metoder för att utföra tillägg och subtraktion av vektorer: de kan vara grafiska eller analytiska.

Grafiska metoder

Används när en vektor har en modul, känsla och riktning. För att göra detta ritas linjer som bildar en figur som senare hjälper till att bestämma den resulterande. Bland de mest kända är följande:

Parallelogrammetod

För att göra tillägg eller subtraktion av två vektorer väljes en punkt gemensamt på koordinataxeln - som kommer att representera vektorns ursprungspunkt, behålla sin modul, riktning och riktning..

Därefter ritas linjer parallellt med vektorerna för att bilda ett parallellogram. Den resulterande vektorn är diagonalen som lämnar från båda vektorns ursprungspunkt tills parallellogrammets toppunkt:

Triangelmetod

I denna metod placeras vektorerna en efter varandra, behåller sina moduler, riktningar och riktningar. Den resulterande vektorn kommer att vara föreningen av ursprunget för den första vektorn med slutet av den andra vektorn:

Analytiska metoder

Du kan lägga till eller subtrahera två eller flera vektorer genom en geometrisk eller vektor metod:

Geometrisk metod

När två vektorer bildar en triangel eller parallellogram kan modulen och riktningen för den resulterande vektorn bestämmas med användning av sinus- och cosinuslagarna. Sålunda ges modulen för den resulterande vektorn, tillämpande cosinuslagen och med triangelnmetoden, av:

I denna formel är β vinkeln motsatt till sidan R, och detta är lika med 180º -..

I motsats till detta är parallellogrammetoden den resulterande vektormodulen:

Riktningen för den resulterande vektorn ges av vinkeln (α) som bildar den resulterande med en av vektorerna.

Av lagen i bröstet, kan addition eller subtraktion av vektorer också göras enligt metoden i triangeln eller parallellogram, att veta att alla triangelsidor är proportionella mot sinus för vinklarna Dapper:

Vektor metod

Detta kan göras på två sätt: beroende på deras rektangulära koordinater eller deras grundvektorer.

Det kan göras genom att flytta vektor som skall adderas eller subtraheras till ursprunget, och därefter sönderdelas till rektangulära komponenter alla utsprång i var och en av axlarna för planet (x, y) eller (x, och z); Slutligen läggs dess komponenter algebraiskt. Så för planet är det:

Modulen i den resulterande vektorn är:

Medan för rymden är det:

Modulen i den resulterande vektorn är:

Vid utförande av vektorbelopp tillämpas flera egenskaper, vilka är:

- Associativ egenskap: den resulterande förändras inte genom att först lägga till två vektorer och sedan lägga till en tredje vektor.

- Commutativ egenskap: vektorns ordning ändrar inte den resulterande.

- Vektorfördelande egenskap: om en skalär multipliceras med summan av två vektorer är den lika med multiplikationen av skalären för varje vektor.

- Skalär fördelningsegenskap: Om en vektor multipliceras med summan av två skalärer, är den lika med multiplikationen av vektorn för varje skalär.

Multiplikation av vektorer

Multiplikationen eller produkten av vektorer kan göras som tillsättning eller subtraktion, men därmed förlorar den fysiska betydelsen och finns nästan aldrig inom applikationer. Därför är de mest använda typerna av produkter i allmänhet den skalära och vektoriska produkten.

Skalärprodukt

Det är också känt som en punktprodukt av två vektorer. När modulerna av två vektorer multipliceras med cosinusen av den lilla vinkeln som bildas mellan dem, erhålls en skalär. För att placera en skalärprodukt mellan två vektorer placeras en punkt mellan dem, och detta kan definieras som:

Värdet av den vinkel som finns mellan de två vektorerna beror på om de är parallella eller vinkelräta; Så måste du:

- Om vektorerna är parallella och har samma betydelse, cosinus 0º = 1.

- Om vektorerna är parallella och har motsatta sinnen, cosinus 180º = -1.

- Om vektorerna är vinkelräta, cosinus 90º = 0.

Den vinkeln kan också beräknas med att veta att:

Skalärprodukten har följande egenskaper:

- Kommutativ egenskap: vektorns ordning förändrar inte skalären.

-Distributionsegenskap: Om en skalär multipliceras med summan av två vektorer, är den lika med multiplikationen av skalären för varje vektor.

Vektorprodukt

Vektormultiplikationen eller tvärprodukten av två vektorer A och B kommer att resultera i en ny vektor C och uttrycks med användning av ett kors mellan vektorerna:

Den nya vektorn kommer att ha sina egna egenskaper. På så sätt:

- Riktningen: Den här nya vektorn kommer att vara vinkelrätt mot planet, vilket bestäms av de ursprungliga vektorerna.

- Förnimmelsen: Detta bestäms av högerregeln, där vektorn A roteras mot B genom att peka rotationsriktningen med fingrarna och med tummen är känslan av vektorn märkt.

- Modulen: bestäms av multipliceringen av modulerna hos vektorerna AxB, genom sinus av den minsta vinkel som existerar mellan dessa vektorer. Det uttrycks:

Värdet av den vinkel som finns mellan de två vektorerna beror på huruvida de är parallella eller vinkelräta. Då är det möjligt att bekräfta följande:

- Om vektorerna är parallella och har samma betydelse, synd 0 0 = 0.

- Om vektorerna är parallella och har motsatta sinnen, sinus 180º = 0.

- Om vektorerna är vinkelräta, sinus 90º = 1.

När en vektorprodukt uttrycks i termer av dess basvektorer måste den:

Skalärprodukten har följande egenskaper:

- Det är inte kommutativt: vektorernas ordning ändrar skalären.

- Distributionsegenskap: Om en skalär multipliceras med summan av två vektorer, är den lika med multiplikationen av skalären för varje vektor.

referenser

  1. Altman Naomi, M. K. (2015). "Enkel linjär regression". Naturmetoder .
  2. Angel, A. R. (2007). Elementaralgebra Pearson Education,.
  3. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
  4. Gusiatnikov, P., & Reznichenko, S. (s.f.). Algebr till Vectorial i exempel. Moskva: Mir.
  5. Lay, D. C. (2007). Linjär algebra och dess tillämpningar. Pearson Education.
  6. Llinares, J. F. (2009). Linjäralgebra: Vektorutrymme. Euklidiskt vektorutrymme. Universitetet i Alicante.
  7. Mora, J. F. (2014). Linjär algebra foster.