Linjär interpolationsmetod, lösta övningar



den linjär interpolering är en metod som härstammar från den allmänna interpoleringen av Newton och tillåter att vid approximation bestämma ett okänt värde som ligger mellan två givna tal; det vill säga det finns ett mellanvärde. Det tillämpas också på approximativa funktioner, där värdena f(A) och f(B) de är kända och du vill veta mellanprodukten av f(X).

Det finns olika typer av interpolering, såsom linjära, kvadratiska, kubiska och högre betyg, det enklaste är den linjära approximationen. Det pris som måste betalas med linjär interpolation är att resultatet inte kommer att vara lika exakt som vid approximationer av funktioner av högre betyg.

index

  • 1 Definition
  • 2 metod
  • 3 Övningar löst
    • 3.1 Övning 1
    • 3.2 Övning 2
  • 4 referenser

definition

Linjär interpolering är en process som låter dig avleda ett värde mellan två väldefinierade värden, som kan ligga i ett bord eller i ett linjärt diagram.

Till exempel, om det är känt att 3 liter Lechen värt $ 4 och $ 5 liter värd 7, men vill veta vad värdet av 4 liter mjölk, interpoleras för att bestämma mellanliggande värde.

metod

För att uppskatta ett mellanvärde för en funktion är funktionen f approximerad(X) med hjälp av en rak linje r(X), vilket innebär att funktionen varierar linjärt med "x" för en sträcka "x = a" och "x = b"; det vill säga för ett "x" -värde i intervallet (x0, x1) och (och0, och1), värdet av "y" ges av linjen mellan punkterna och uttrycks av följande relation:

(och - och0) ÷ (x - x0) = (och1 - och0) ÷ (x1 - x0)

För att en interpolation ska vara linjär är det nödvändigt att interpolationspolynomet är av grad ett (n = 1) så att det anpassas till värdena på x0 och x1.

Den linjära interpoleringen baseras på likheter av trianglar, så att det härledande geometriskt från föregående uttryck kan vi få värdet av "y", vilket representerar det okända värdet för "x".

På så sätt måste du:

a = tan = = (motsatt sida1 ÷ intilliggande ben1) = (motsatt sida2 ÷ intilliggande ben2)

Uttryckt på ett annat sätt är det:

(och - och0) ÷ (x - x0) = (och1 - och0) ÷ (x1 - x0)

Rensa "och" av uttrycken har du:

(och - och0) * (x1 - x0) = (x - x0) * (och1 - och0)

(och - och0) = (och1 - och0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Således erhåller vi den allmänna ekvationen för linjär interpolering:

y = y0 + (och1 - och0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

I allmänhet ger linjär interpolering ett litet fel över det verkliga värdet av den sanna funktionen, även om felet är minimalt jämfört med om du intuitivt väljer ett nummer nära det du vill hitta.

Detta fel uppstår när du försöker approximera värdet på en kurva med en rak linje. För dessa fall måste intervallets storlek minskas för att göra approximationen mer exakt.

För bättre resultat med avseende på tillvägagångssättet är det lämpligt att använda intervallet 2, 3 eller till och med högre klass för att utföra interpoleringen. För dessa fall är Taylors teorem ett mycket användbart verktyg.

Lösta övningar

Övning 1

Antalet bakterier per volymenhet som finns i en inkubation efter x timmar presenteras i följande tabell. Du vill veta vad som är volymen av bakterier för 3,5 timmar.

lösning

Referenstabellen fastställer inte ett värde som anger mängden bakterier för en tid av 3,5 timmar men har högre och lägre värden motsvarande en tid av 3 respektive 4 timmar. På så sätt:

x0 = 3 och0 = 91

x = 3,5 y =?

x1 = 4 och1 = 135

Nu matas den matematiska ekvationen för att hitta det interpolerade värdet, vilket är följande:

y = y0 + (och1 - och0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)].

Därefter ersätts motsvarande värden:

y = 91 + (135 - 91) * [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 * 0,5

y = 113.

Således erhålles det att mängden bakterier är 113 för en tid av 3,5 timmar, vilket representerar en mellannivå mellan volymen av bakterier som existerar i tiden 3 och 4 timmar.

Övning 2

Luis har en glassfabrik, och han vill göra en studie för att bestämma den inkomst han haft i augusti från de utgifter som gjordes. Företagsledaren gör ett diagram som uttrycker det förhållandet, men Luis vill veta:

Vad är inkomsten för augusti om en kostnad på $ 55.000 gjordes??

lösning

En graf anges med värden på intäkter och kostnader. Luis vill veta vad inkomsterna i augusti är om fabriken hade en kostnad på $ 55.000. Detta värde återspeglas inte direkt i grafen, men värdena högre och lägre än det här är.

Först görs ett bord där man enkelt ska relatera värdena:

Nu används interpolationsformeln för att bestämma värdet på y

y = y0 + (och1 - och0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Därefter ersätts motsvarande värden:

y = 56 000 + (78 000 - 56 000) * [(55 000 - 45 000) ÷ (62 000 - 45 000)]

y = 56 000 + (22 000) * [(10.000) ÷ (17.000)]

y = 56 000 + (22 000) * (0,588)

y = 56 000 + 12 936

y = $ 68,936.

Om en kostnad på $ 55 000 gjordes i augusti var inkomsterna $ 68 936.

referenser

  1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
  2. Harpe, P. d. (2000). Ämnen i Geometrisk Gruppteori. University of Chicago Press.
  3. Hazewinkel, M. (2001). Linjär interpolation ", Encyclopedia of Mathematics.
  4. , J. M. (1998). Element av numeriska metoder för teknik. UASLP.
  5. , E. (2002). En kronologisk kronologisk interpolation: från gammal astronomi till modern signal och bildbehandling. Förhandlingarna i IEEE.
  6. numerisk, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.