Euklidisk geometrihistoria, grundläggande begrepp och exempel

den Euklidisk geometri motsvarar studien av egenskaperna hos geometriska utrymmen där Euclids axiom är uppfyllda. Även om denna term ibland används för att omfatta geometrier som har överlägsen dimensioner med liknande egenskaper, är det vanligtvis synonymt med klassisk geometri eller platt geometri..

I det tredje århundradet a. C. Euclid och hans lärjungar skrev element, ett arbete som omfattade den matematiska kunskapen om tiden som gavs med en logisk-deduktiv struktur. Sedan dess har geometri blivit en vetenskap, först att lösa klassiska problem och har utvecklats till en formativ vetenskap som hjälper till att skäla.

index

• 1 historia
• 2 Grundläggande begrepp
  • 2.1 Vanliga begrepp
  • 2.2 Postulat eller axiom
• 3 exempel
  • 3.1 Första exemplet
  • 3.2 Andra exemplet
  • 3.3 Tredje exemplet
• 4 referenser

historia

Att prata om historien om euklidisk geometri är det viktigt att börja med Euclid of Alexandria och element.

När Egypten var i händerna på Ptolemy Jag började efter Alexander the Greats död sitt projekt på en skola i Alexandria.

Bland de sages som lärde sig i skolan var Euclid. Det spekuleras att hans födelse är ungefär från 325 a. C. och hans död av 265 a. C. Vi kan med säkerhet veta att han gick till Platons skola.

I mer än trettio år lärde Euclid i Alexandria att bygga sina berömda element: han började skriva en uttömmande beskrivning av matematiken i sin tid. Euclids läror producerade utmärkta lärjungar, såsom Archimedes och Apollonius av Perga.

Euclid var ansvarig för att strukturera de klassiska grekernas olikartade upptäckter i element, men i motsats till sina föregångare begränsar det sig inte för att bekräfta att en stämning är sann; Euclides erbjuder en demonstration.

den element De är ett kompendium av tretton böcker. Efter Bibeln är det den mest publicerade boken, med mer än tusen utgåvor.

den element Det är mäster Euclid inom geometri, och erbjuder en definitiv behandling av tvådimensionell geometri (platt) och tredimensionella (mellanslag), som är ursprunget till det som nu kallas euklidiska geometri.

Grundläggande begrepp

Elementen består av definitioner, gemensamma begrepp och postulat (eller axiom) följt av teorem, konstruktioner och demonstrationer.

- En punkt är det som inte har några delar.

- En linje är en längd som inte har någon bredd.

- En rak linje är den som ligger lika i förhållande till punkterna som finns i detta.

- Om två linjer skärs så att de intilliggande vinklarna är lika, kallas vinklarna raka och linjerna kallas perpendikulär..

- Parallella linjer är de som, i samma plan, aldrig skärs.

Efter dessa och andra definitioner presenterar Euclid en lista över fem postulat och fem begrepp.

Vanliga begrepp

- Två saker som är lika med en tredjedel är lika med varandra.

- Om lika saker läggs till samma saker, är resultaten samma.

- Om lika saker subtraheras från samma saker, är resultaten samma.

- De saker som matchar varandra är lika med varandra.

- Totalen är större än en del.

Postulat eller axiom

- För två olika punkter passerar en och en linje.

- Raklinjer kan sträcka sig obestämt.

- Du kan rita en cirkel med något centrum och någon radie.

- Okej vinklar är desamma.

- Om en rät linje korsar två raka linjer, så att vinklarna på samma sida på totalt mindre än två räta vinklar, så är de två linjerna korsar på den sidan.

Den senare antagandet är känd som parallellaxiomet och omformuleras enligt följande: "För en punkt utanför en rät linje kan dras en enda linje som är parallell med den givna".

exempel

Därefter, några teoremer av element De kommer att tjäna för att visa egenskaper av geometriska utrymmen där de fem postulaten av Euclid är uppfyllda. Dessutom kommer de att illustrera den logiska deduktiva resonemanget som används av denna matematiker.

Första exemplet

Förslag 1.4. (LAL)

Om två trianglar har två sidor och vinkeln mellan dem är lika, så är de andra sidorna och de andra vinklarna lika.

show

Låt ABC och A'B'C vara två trianglar med AB = A'B ', AC = A'C' och vinklarna BAC och B'A'C 'lika. Flytta till triangeln A'B'C så att A'B 'sammanfaller med AB och att vinkeln B'A'C' sammanfaller med vinkel BAC.

Sedan sammanfaller linjen A'C med linjen AC, så att C 'sammanfaller med C. Därefter, genom postulat 1, måste linjen BC sammanfalla med linje B'C'. Därför sammanfaller de två trianglarna och följaktligen är deras vinklar och sidor lika.

Andra exemplet

Förslag 1.5. (Pons Asinorum)

Om en triangel har två lika sidor är vinklarna mittemot dessa sidor lika.

show

Antag att triangeln ABC har lika sidor AB och AC.

Då har trianglarna ABD och ACD två lika sidor och vinklarna mellan dem är lika. Således, med proposition 1.4, är vinklarna ABD och ACD lika.

Tredje exemplet

Förslag 1.31

Du kan bygga en linje parallell med en linje som ges av en given punkt.

konstruktion

Med en linje L och en punkt P dras en rak linje M som passerar genom P och skär in i L. Därefter ritas en rak linje N av P som skär till L. Nu spårar vi av P en rak N som skär till M, bildar en vinkel som är lika med den som L bildar med M.

bekräftelse

N är parallell med L.

show

Antag att L och N inte är parallella och skär varandra vid en punkt A. Låt B vara en punkt vid L bortom A. Tänk linjen O som passerar genom B och P. Därefter klipps O till M-formningsvinklar som lägger till mindre än två raka.

Sedan, med 1,5, måste linjen O skära till linjen L på andra sidan M, så L och O skär vid två punkter, vilket strider mot postulatet 1. Därför måste L och N vara parallella.

referenser

1. Euclid. Elements of Geometry. National Autonomous University of Mexico
2. Euclides. De första sex böckerna och elfte och tolfte delen av Euclid
3. Eugenio Filloy Yague. Didaktik och historia av euklidisk geometri. Iberoamerican Editorial Group
4. K.Ribnikov. Matematikhistoria Mir Editorial
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Flat Analytical Geometry. Venezuelansk C.A redaktionell.