Syntetisk avdelningsmetod och lösta övningar

den syntetisk division det är ett enkelt sätt att dela ett polynom P (x) med någon av formen d (x) = x - c. Det är ett mycket användbart verktyg eftersom, förutom att tillåta oss att dela polynom, gör det också möjligt att utvärdera en P (x) polynomet i valfritt antal c, som i sin tur berättar exakt om antalet är noll eller inte polynomet.

Tack vare divisionsalgoritmen vet vi att om vi har två polynomier P (x) och d (x) inte konstant, det finns polynomier q (x) och r (x) unikt så att det är sant att P (x) = q (x) d (x) + r (x), där r (x) är noll eller är mindre än q (x). Dessa polynomier är kända som kvotient respektive rest eller vila.

I fall där polynomet d (x) är av formen c x-, ger syntetisk division en kort sätt att hitta som är q (x) och r (x).

index

• 1 Syntetisk uppdelningsmetod
• 2 övningar löst
  • 2.1 Exempel 1
  • 2.2 Exempel 2
  • 2,3 Exempel 3
  • 2.4 Exempel 4
• 3 referenser

Syntetisk uppdelningsmetod

Låt P (x) = a_nxⁿ+till_n-1x^n-1+... + a₁x + a₀ det polynom som vi vill dela och d (x) = x-c divisorn. Att dela med hjälp av den syntetiska delningsmetoden gör vi enligt följande:

1- Vi skriver koefficienterna för P (x) i första raden. Om någon effekt av X inte uppträder sätter vi noll som dess koefficient.

2- I den andra raden, till vänster om a_n placera c och dra upp delningslinjer som visas i följande figur:

3- Vi sänker ledningskoefficienten till tredje raden.

I detta uttryck b_n-1= a_n

4- Vi multiplicerar c med ledande koefficient b_n-1 och resultatet är skrivet i den andra raden, men en kolumn till höger.

5- Vi lägger till kolumnen där vi skrev det föregående resultatet och resultatet vi sätter det under den summen. det vill säga i samma kolumn tredje raden.

Genom att lägga till har vi som resultat_n-1+c * b_n-1, som för bekvämligheten kommer vi att ringa b_n-2

6- Vi multiplicerar c vid föregående resultat och skriver resultatet till höger i andra raden.

7- Vi upprepar steg 5 och 6 tills vi når koefficienten a₀.

8- Skriv svaret; det vill säga kvoten och resten. Eftersom vi utför delningen av ett polynom av grad n mellan ett polynom av grad 1, har vi den seriösa kvoten av grad n-1.

Koefficienterna för kvotientpolynomet kommer att vara siffrorna i den tredje raden utom den sista, som kommer att vara det kvarvarande polynomet eller resten av divisionen.

Lösta övningar

Exempel 1

Utför följande uppdelning med syntetisk delningsmetod:

(x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x + 1): (x + 1).

lösning

Först skriver vi utdelningskoefficienterna enligt följande:

Sedan skriver vi c på vänster sida, i andra raden, tillsammans med delningslinjerna. I detta exempel c = -1.

Vi sänker ledningskoefficienten (i detta fall b_n-1 = 1) och multiplicera den med -1:

Vi skriver ditt resultat till höger i andra raden, som visas nedan:

Vi lägger till siffrorna i den andra kolumnen:

Vi multiplicerar 2 med -1 och skriver resultatet i tredje kolumnen, andra raden:

Vi lägger till i den tredje kolumnen:

Vi fortsätter analogt tills vi når den sista kolumnen:

Således har vi att det sista numret som erhållits är resten av divisionen och de återstående talen är koefficienterna för kvotientpolynomet. Detta är skrivet enligt följande:

Om vi ​​vill verifiera att resultatet är korrekt är det tillräckligt att verifiera att följande ekvation är uppfylld:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Så vi kan verifiera att det erhållna resultatet är korrekt.

Exempel 2

Utför nästa delning av polynomier med den syntetiska delningsmetoden

(7x³-x + 2): (x + 2)

lösning

I det här fallet har vi termen x² det verkar inte, så vi skriver 0 som dess koefficient. Så skulle polynomet vara som 7x³+0x²-x + 2.

Vi skriver deras koefficienter i rad, det här är:

Vi skriver värdet på C = -2 till vänster i andra raden och ritar delningslinjerna.

Vi sänker ledningskoefficienten b_n-1 = 7 och vi multiplicerar den med -2, skriver resultatet i andra raden till höger.

Vi lägger till och fortsätter som tidigare förklarat, tills vi når sista terminen:

I detta fall är resten r (x) = - 52 och kvoten erhållen är q (x) = 7x²-14x + 27.

Exempel 3

Ett annat sätt att använda syntetisk delning är följande: anta att vi har en polynom P (x) i grad n och vi vill veta vad som är värde när vi utvärderar det i x = c.

Genom divisionens algoritm har vi att vi kan skriva polynom P (x) på följande sätt:

I detta uttryck är q (x) och r (x) kvoten och resten respektive. Nu, om d (x) = x-c, när vi utvärderar i c i polynomet hittar vi följande:

För detta behöver vi bara hitta r (x), och det här kan vi göra tack vare den syntetiska divisionen.

Till exempel har vi polynomalen P (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12X⁴-3x³+19x²-37x-37 och vi vill veta sitt värde vid utvärdering vid x = 5. Vi utför divisionen mellan P (x) och d (x) = x -5 genom metoden av syntetiskt division:

När operationerna är färdiga vet vi att vi kan skriva P (x) på följande sätt:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (x-5) + 4253

Därför måste vi, när vi utvärderar det:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Som vi kan se är det möjligt att använda syntetisk delning för att hitta värdet av ett polynom när det utvärderas i c istället för att helt enkelt ersätta c med x. 

Om vi ​​försökte utvärdera P (5) på traditionellt sätt skulle vi behöva utföra några beräkningar som tenderar att bli tråkiga.

Exempel 4

Divisionsalgoritmen för polynom är också sant för polynom med komplexa koefficienter, och därför har det syntetiska divisionen metod fungerar även för dessa polynom. Nästa kommer vi att se ett exempel.

Vi använder den syntetiska delningsmetoden för att visa att z = 1+ 2i är en noll i polynomet P (x) = x³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); det vill säga resten av divisionen P (x) mellan d (x) = x - z är lika med noll.

Vi fortsätter som tidigare: i den första raden skriver vi koefficienterna för P (x), sedan i andra skriver vi z och ritar delningslinjerna.

Vi gjorde uppdelningen som tidigare; detta är:

Vi kan se att återstoden är noll; därför slutsatsen att z = 1+ 2i är en noll av P (x).

referenser

1. Baldor Aurelio. algebra. Patria Editorial Group.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: Grafik, numerisk, algebraisk 7: e utg. Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Prentice Hall
4. Michael Sullivan. precalculus 4: e utgåvan. Pearson Education.
5. Red. Armando O. Algebra 1 6: e utgåvan. Athenaeum.