Dela med sig:
Axiomatiska metodegenskaper, steg, exempel
den axiomatisk metod eller även kallad Axiomatic är ett formellt förfarande som används av vetenskapen vari formulerade påståenden eller påståenden som kallas axiom, som förbinds med ett förhållande av derivability och ligger till grund av de antaganden eller villkor för ett visst system.
Denna allmänna definition måste utformas inom den utveckling som denna metod har haft genom historien. För det första finns det en gammal metod eller innehåll, född i antikens Grekland från Euclid och senare utvecklad av Aristoteles.
För det andra, redan i nittonde århundradet, utseendet av en geometri med axiom som skiljer sig från Euclids. Och slutligen, den formella eller moderna axiomatiska metoden, vars maximala exponent var David Hilbert.
Utöver sin utveckling över tiden har denna procedur varit basen för den deduktiva metoden som används i geometrin och logiken där den härstammade. Det har också använts i fysik, kemi och biologi.
Och det har även tillämpats på juridisk vetenskap, sociologi och politisk ekonomi. Men för närvarande är dess viktigaste tillämpningsområde matematik och symbolisk logik och vissa grenar av fysik som termodynamik, mekanik, bland andra discipliner.
index
- 1 Egenskaper
- 1.1 Gammal axiomatisk metod eller innehåll
- 1.2 icke-euklidisk axiomatisk metod
- 1.3 Modern eller formell axiomatisk metod
- 2 steg
- 3 exempel
- 4 referenser
särdrag
Även om den grundläggande egenskapen hos denna metod är axiomsformulering, har dessa inte alltid beaktats på samma sätt.
Det finns några som kan definieras och konstrueras på ett godtyckligt sätt. Och andra, enligt en modell där dess intuitivt garanterade sanning beaktas.
För att förstå specifikt vad denna skillnad består av och dess konsekvenser är det nödvändigt att se över utvecklingen av denna metod.
Gammal axiomatisk metod eller innehåll
Det är det som etablerades i antikens Grekland runt 5th century BC. Användningsområdet är geometri. Det grundläggande arbetet i detta skede är Euklids element, även om det anses att före honom, Pythagoras, redan hade fött den axiomatiska metoden.
Grekarna tar sålunda vissa fakta som axiomer utan att det krävs något logiskt bevis, det vill säga utan att det behövs demonstration eftersom de är en självklar sannhet för dem.
Euclides presenterar för sin del fem axiom för geometri:
1-Givet två punkter finns en linje som innehåller eller länkar dem.
2-Varje segment kan fortsätt kontinuerligt på en obegränsad linje på båda sidor.
3-Du kan rita en cirkel som har ett centrum vid vilken som helst punkt och vilken radie som helst.
4-Höger vinklar är alla samma.
5-Med någon rak linje och någon punkt som inte finns i den finns en rak linje parallell med den och den innehåller den punkten. Detta axiom är senare känt som axiom av parallellerna och har också angivits som: av en punkt utanför en linje kan dragas en enda parallell.
Men både Euklides och senare matematiker är överens om att den femte axiom är inte lika intuitivt klart som de andra 4. Även under renässansen försöker härleda femtedel av de andra fyra, men det är inte möjligt.
Detta gjorde på artonhundratalet, som upprätthöll fem var anhängare av euklidiska geometri och de som förnekade den femte, den som skapade den icke-euklidiska geometri.
Icke-euklidisk axiomatisk metod
Det är just Nikolaj Ivanovitj Lobachevsky, Bolyai János och Johann Karl Friedrich Gauss som ser möjligheten att bygga, utan motsägelse, en geometri som kommer från andra källor än de axiom Euclid system. Detta förstör tron på axiomernas absoluta eller a priori sanning och de teorier som härrör från dem.
Därför börjar axiomerna betraktas som utgångspunkter för en given teori. Också deras val och problemet med deras giltighet på ett eller annat sätt börjar relatera till fakta utanför axiomatisk teori.
På detta sätt visas geometriska, algebraiska och aritmetiska teorier konstruerade med hjälp av den axiomatiska metoden.
Detta stadium kulminerar med skapandet av axiomatiska system för aritmetik som Giuseppe Peano år 1891; David Huberts geometri 1899; uttalandena och predikatberäkningarna av Alfred North Whitehead och Bertrand Russell, i England 1910; den axiomatiska teorin om uppsättningarna Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo år 1908.
Modern eller formell axiomatisk metod
Det är David Hubert som initierar uppfattningen om en formell axiomatisk metod och det leder till sin kulmination, David Hilbert.
Det är just Hilbert som formaliserar vetenskapligt språk, med tanke på sina uttalanden som formler eller sekvenser av tecken som inte har någon mening i sig. De förvärvar endast mening i en viss tolkning.
I "Grunderna i geometri"Förklarar det första exemplet på denna metodik. Härifrån blir geometrin en vetenskap om rena logiska konsekvenser, som utvinns ur ett system av hypoteser eller axiomer, bättre formulerade än det euklidiska systemet.
Detta beror på att i det gamla systemet bygger den axiomatiska teorin på axiomens bevis. Medan grunden för formell teori ges genom demonstrationen av dess motsägelse mot dess axiom.
steg
Förfarandet som utför en axiomatisk strukturering inom de vetenskapliga teorierna erkänner:
a-valet av ett visst antal axiomer, det vill säga ett antal förslag till en viss teori som accepteras utan att behöva demonstreras.
b-de begrepp som ingår i dessa propositioner bestäms inte inom ramen för den givna teorin.
c-reglerna för definition och avdrag för den givna teorin är fasta och tillåter att introducera nya begrepp inom teorin och logiskt avleda vissa propositioner från andra.
d-teorins andra propositioner, det vill säga stolen, härledas från en på basis av c.
exempel
Denna metod kan verifieras genom demonstration av de två mest kända Euclid-teoremerna: benetoden och höjdsatsen..
Båda härrör från observationen av den här grekiska geometern att när höjden är ritad med avseende på hypotenusen i en högra triangel visas två trianglar mer än originalet. Dessa trianglar liknar varandra och liknar samtidigt ursprungstriken. Detta förutsätter att deras respektive homologa sidor är proportionella.
Det kan ses att kongruensvinklarna i trianglarna på detta sätt verifierar likheten som existerar mellan de tre trianglarna som är involverade enligt AAA-likhetskriteriet. Detta kriterium hävdar att när två trianglar har alla sina lika vinklar är de liknande.
När trianglarna visar sig vara likartade kan de proportioner som anges i den första teorem etableras. Det står att i en rätt triangel är mätningen av varje katetus ett geometriskt proportionellt medelvärde mellan hypotenusen och utsprånget av katetern i den..
Den andra teorem är höjden. Det specificerar att en rätt triangel är höjden som ritas enligt hypotenusen en geometrisk proportionell medelvärde mellan segmenten som bestäms av nämnda geometriska medelvärde på hypotenusen.
Naturligtvis har båda teorier många tillämpningar över hela världen, inte bara inom utbildning, men också inom teknik, fysik, kemi och astronomi.
referenser
- Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometri, formalism och intuition: David Hilbert och den formella axiomatiska metoden (1895-1905). Filosofi Magazine, Vol. 39 Num. 2, s. 121-146. Hämtad från revistas.ucm.es.
- Hilbert, David. (1918) Axiomatisk tanke. I W.Ewald, redaktör, från Kant till Hilbert: en källbok i grunden för matematik. Volym II, sid 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
- Hintikka, Jaako. (2009). Vad är den axiomatiska metoden? Syntes, november 2011, volym 189, sid.69-85. Hämtad från link.springer.com.
- López Hernández, José. (2005). Introduktion till modernisternas filosofi. (Pp.48-49). Hämtad från books.google.com.ar.
- Nirenberg, Ricardo. (1996) Den axiomatiska metoden, genom att läsa av Ricardo Nirenberg, Fall 1996, University at Albany, Project Renaissance. Hämtad från Albany.edu.
- Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert mellan den formella och den informella sidan av matematik. Manuskript vol. 38 nr. 2, Campinas juli / augusti 2015. Hämtad från scielo.br.