Transformerad Laplace-definition, historia, vad det är för, egenskaper



den transformerad från Laplace har varit under de senaste åren av stor betydelse i ingenjörsstudier, matematik, fysik, bland andra vetenskapliga områden, samt är av stort intresse i teorin, ger ett enkelt sätt att lösa problem som kommer från vetenskap och teknik.

Ursprungligen presenterades Laplace-transformen av Pierre-Simon Laplace i hans studie om sannolikhetsteorin och behandlades initialt som ett matematiskt objekt av rent teoretiskt intresse.

Nuvarande tillämpningar uppstår när olika matematiker försökte ge en formell motivering till "operativa regler" som används av Heaviside i studien av ekvationer för elektromagnetisk teori.

index

  • 1 Definition
    • 1.1 Exempel
    • 1.2 Sats (Tillräckliga villkor för existens)
    • 1.3 Laplace-omvandling av vissa grundläggande funktioner
  • 2 historia
    • 2,1 1782, Laplace
    • 2.2 Oliver Heaviside
  • 3 egenskaper
    • 3.1 Linearitet
    • 3.2 Första översättningsteorem
    • 3.3 Andra översättningsteorem
    • 3.4 Skalförändring
    • 3,5 ransformation av Laplace av derivat
    • 3.6 Laplace transformation av integraler
    • 3,7 Multiplikation med tn
    • 3,8 Division av t
    • 3.9 Periodiska funktioner
    • 3.10 Beteende av F (s) när s tenderar att vara oändligt
  • 4 Inverse transformationer
    • 4.1 Övning
  • 5 applikationer av Laplace transformen
    • 5.1 Differentialekvationer
    • 5.2 System av differentialekvationer
    • 5.3 Mekanik och elektriska kretsar
  • 6 referenser

definition

Låt f vara en funktion definierad för t ≥ 0. Laplace-transformen definieras enligt följande:

Det sägs att Laplace-transformen existerar om det tidigare integrerade konvergerar, annars sägs det att Laplace-transformen inte existerar.

I allmänhet för att beteckna den funktion som man vill förvandla, används små bokstäver och stor bokstav motsvarar dess omvandling. På så sätt kommer vi att ha:

exempel

Tänk på den konstanta funktionen f (t) = 1. Vi har att dess omvandling är:

När integralet konvergeras, tillhandahålls alltid att s> 0. Annars s < 0, la integral diverge.

Låt g (t) = t. Din Laplace-transformation ges av

Genom att integrera med delar och veta att du-st det tenderar att 0 när t tenderar att vara oändligt och s> 0, tillsammans med föregående exempel har vi det:

Transformen kan eller inte existera, till exempel för funktionen f (t) = 1 / t det integral som definierar sin Laplace-transform omvandlas inte och därför finns dess transformation inte.

Tillräckliga villkor för att säkerställa att Laplace-transformationen av en funktion f existerar är att f är kontinuerligt i delar för t ≥ 0 och är av exponentiell ordning.

Det sägs att en funktion är kontinuerlig i delar för t ≥ 0, när för något intervall [a, b] med a> 0, är ​​det ett begränsat antal punkter tk, där f har diskontinuiteter och är kontinuerlig i varje underintervall [tk-1,tk].

Å andra sidan sägs att en funktion är av exponentiell ordning c om det finns reella konstanter M> 0, c och T> 0 så att:

Som exempel har vi f (t) = t2 är av exponentiell ordning, eftersom | t2| < e3t för alla t> 0.

På formellt sätt har vi följande ståndpunkt

Teorem (Tillräckliga villkor för existens)

Om f är en kontinuerlig funktion per del för t> 0 och av exponentiell ordning c, så finns det Laplace-transformen för s> c.

Det är viktigt att markera att detta är ett villkor för tillräcklighet, det vill säga det kan vara så att det finns en funktion som inte uppfyller dessa villkor och även då är dess Laplace-transformation existerande.

Ett exempel på detta är funktionen f (t) = t-1/2 det är inte kontinuerligt i delar för t ≥ 0 men dess Laplace-transform finns.

Laplace-omvandling av vissa grundläggande funktioner

Följande tabell visar Laplace-transformationerna av de vanligaste funktionerna.

historia

Laplacetransformen är uppkallad efter Pierre Simon de Laplace, fransk matematiker och teoretisk astronom som föddes 1749 och dog 1827. Hans berömmelse året var sådan att han var känd som Newton i Frankrike.

I 1744 ägde Leonard Euler sina studier till integraler med formuläret

som lösningar av vanliga differentialekvationer, men övergav snabbt denna undersökning. Senare undersökte Joseph Louis Lagrange, som starkt beundrade Euler, också denna typ av integraler och relaterade dem till sannolikhetsteorin.

1782, Laplace

Under år 1782 började studera Laplace integraler som lösningar för att differentialekvationer och enligt historiker, år 1785 bestämde han sig för att omformulera problemet, vilket sedan gav upphov till Laplacetransformer som förstås idag.

Efter att ha introducerats i sannolikhetsteorin var det av ringa intresse för tidens forskare och ses endast som ett matematiskt objekt av teoretiskt intresse endast.

Oliver Heaviside

Det var mitten av artonhundratalet när den engelska ingenjören Oliver Heaviside fann att differentialoperatorer kan behandlas som algebraiska variabler, vilket ger dess moderna tillämpning Laplace transformationer.

Oliver Heaviside var en fysiker, elingenjör och matematiker engelsman född 1850 och dog i London 1925. Samtidigt försöker lösa differentialekvationer som tillämpas på vibrationsteori och studier med hjälp av Laplace började forma moderna tillämpningar av Laplace-transformationerna.

Resultaten som uppvisades av Heaviside spred sig snabbt under hela tidens vetenskapliga samfund, men eftersom arbetet inte var rigoröst blev det snabbt kritiserat av mer traditionella matematiker.

Men användbarheten av Heavisides arbete med att lösa fysiska ekvationer gjorde hans metoder populära hos fysiker och ingenjörer.

Trots dessa motgångar och efter några decennier av misslyckade försök kunde i början av 1900-talet en noggrann motivering till de operativa reglerna från Heaviside ges..

Dessa försök gavs av tack vare insatser från olika matematiker som bland annat Bromwich, Carson, van der Pol..

egenskaper

Bland egenskaperna hos Laplace-transformen utmärker sig följande:

linjäritet

Låt c1 och c2 vara konstanter och f (t) och g (t) funktioner vars Laplace-transformationer är F (s) respektive G (s), då måste vi:

På grund av den här egenskapen sägs att Laplace-transformen är en linjär operatör.

exempel

Första översättningsteorem

Om det händer att:

Och "a" är ett riktigt tal, då:

exempel

Som Laplace-transformen av cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) då:

Andra översättningsteorem

om

sedan

exempel

Om f (t) = t ^ 3, då F (s) = 6 / s ^ 4. Och därför omvandlingen av

är G (s) = 6e-2s/ s ^ 4

Skalförändring

om

Och 'a' är en icke-noll verklig, vi måste

exempel

Eftersom transformationen av f (t) = sin (t) är F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) måste den vara

ransformation av Laplace av derivat

Om f, f ', f ", ..., f(N) är kontinuerliga för t ≥ 0 och är av exponentiell ordning och f(N)(t) är kontinuerlig i delar för t> 0, då

Laplace transformation av integraler

om

sedan

Multiplikation med tn

Om vi ​​måste

sedan

Division av t

Om vi ​​måste

sedan

Periodiska funktioner

Låt f vara en periodisk funktion med perioden T> 0, det vill säga f (t + T) = f (t), då

Beteende av F (s) när s tenderar att vara oändligt

Om f är kontinuerlig i delar och av exponentiell ordning och

sedan

Inverse transformationer

När vi tillämpar Laplace-transformen till en funktion f (t) får vi F (s), vilket representerar den transformationen. På samma sätt kan vi säga att f (t) är den inverse Laplace-transformen av F (s) och är skriven som

Vi vet att Laplace-transformerna av f (t) = 1 och g (t) = t är F (s) = 1 / s och G (s) = 1 / s2 respektive måste vi därför

Några vanliga inverse Laplace-transformer är som följer

Dessutom är den inverse Laplace-transformen linjär, det vill säga den är uppfylld

övning

hitta

För att lösa denna övning måste vi matcha funktionen F (s) med en av föregående tabell. I det här fallet, om vi tar n + 1 = 5 och använder linjäritetsegenskapen för den inverse transformen, multiplicerar vi och dividerar med 4! få

För den andra inverse transformationen tillämpar vi partiella fraktioner för att omskriva funktionen F (s) och sedan egenskapen för lineariteten, att erhålla

Som vi kan se från dessa exempel är det vanligt att funktionen F (s) som utvärderas inte överensstämmer exakt med någon av de funktioner som anges i tabellen. För dessa fall är det tillräckligt att omskriva funktionen tills den når den lämpliga formen.

Tillämpningar av Laplace-transformen

Differensiella ekvationer

Huvudanvändningen av Laplace-transformationerna är att lösa differentialekvationer.

Genom att använda egenskapen för omvandlingen av ett derivat är det klart att

Och av n-1-derivaten utvärderas vid t = 0.

Denna egenskap gör omvandlingen mycket användbar för att lösa initialvärdesproblem där differentialekvationer med konstanta koefficienter är involverade.

Följande exempel visar hur man använder Laplace-transformen för att lösa differentialekvationer.

Exempel 1

Med tanke på följande initialvärdesproblem

Använd Laplace-transformen för att hitta lösningen.

Vi tillämpar Laplace-transformen till varje medlem i differentialekvationen

För egenskapen för omvandlingen av ett derivat vi har

Genom att utveckla alla uttryck och clearing och vi lämnar

Använda partiella fraktioner för att skriva om den högra sidan av ekvationen vi erhåller

Slutligen är vårt mål att hitta en funktion y (t) som uppfyller differentialekvationen. Genom att använda den inverse Laplace-transformen ger vi resultatet

Exempel 2

Lös

Som i föregående fall tillämpar vi transformen på båda sidor av ekvationen och separat term efter term.

På så sätt har vi som resultat

Att ersätta de angivna initialvärdena och rensa Y (s)

Med hjälp av enkla fraktioner kan vi skriva om ekvationen enligt följande

Och att tillämpa den omvända transformen av Laplace ger oss som ett resultat

I dessa exempel kan man komma till fel slutsats att denna metod inte är mycket bättre än de traditionella metoderna för att lösa differentieringsekvationer.

Fördelarna som erbjuds av Laplace-transformen är att det inte är nödvändigt att använda parametervariation eller oroa sig för de olika fallen med den obestämda koefficientmetoden.

Förutom att lösa problem med initialvärdet med denna metod, använder vi från början de ursprungliga förutsättningarna, så det är inte nödvändigt att utföra andra beräkningar för att hitta den specifika lösningen.

Differential ekvationssystem

Laplace-transformen kan också användas för att hitta lösningar för samtidiga vanliga differentialekvationer, vilket följande exempel visar.

exempel

lösa

Med de ursprungliga villkoren x (0) = 8 e och (0) = 3.

Om vi ​​måste

sedan

Att lösa resultat i oss

Och när du använder Laplace invers transformen har vi

Mekanik och elektriska kretsar

Laplace-transformen är av stor betydelse i fysiken, har främst applikationer för mekaniska och elektriska kretsar.

En enkel elektrisk krets består av följande element

En strömbrytare, ett batteri eller en källa, en induktor, ett motstånd och en kondensator. När strömbrytaren är stängd, produceras en elektrisk ström som anges av i (t). Kondensatorns laddning betecknas med q (t).

Med Kirchhoffs andra lag måste spänningen som produceras av källan E till den slutna kretsen vara lika med summan av var och en av spänningsfallet.

Den elektriska strömmen i (t) är relaterad till laddningen q (t) i kondensatorn med i = dq / dt. Å andra sidan definieras spänningsfallet i var och en av elementen enligt följande:

Spänningsfallet i ett motstånd är iR = R (dq / dt)

Spänningsfallet i en induktor är L (di / dt) = L (d2q / dt2)

Spänningsfallet i en kondensator är q / C

Med denna data och tillämpning av den andra Kirchhoff-lagen på den slutna enkla kretsen erhålls en andra ordningens differentialekvation som beskriver systemet och tillåter oss att bestämma värdet på q (t).

exempel

En induktor, en kondensator och ett motstånd är anslutna till ett batteri E, såsom visas i figuren. Induktorn är av 2 henries, kondensatorn på 0,02 farads och motståndet av 16 onhm. Vid tiden t = 0 stängs kretsen. Hitta lasten och strömmen när som helst t> 0 om E = 300 volt.

Vi har att skillnadsekvationen som beskriver denna krets är följande

Där de ursprungliga villkoren är q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

När vi tillämpar Laplace-transformen får vi det

Och rensa Q (t)

Sedan applicerar vi den omvända Laplace-transformen

referenser

  1. G. Holbrook, J. (1987). Laplace transform för elektronik ingenjörer. Limusa.
  2. Ruiz, L. M., & Hernandez, M.P. (2006). Differential ekvationer och Laplace transform med applikationer. Redaktionell UPV.
  3. Simmons, G. F. (1993). Differensiella ekvationer med applikationer och historiska anteckningar. McGraw-Hill.
  4. Spiegel, M.R. (1991). Laplace Transforms. McGraw-Hill.
  5. Zill, D. G., & Cullen, M.R. (2008). Differensiella ekvationer med problem med värden vid gränsen. Cengage Learning Editores, S.A..