Isometrisk omvandlingskomposition, typer och exempel



den Isometriska transformationer de är förändringar av position eller orientering av en viss figur som inte ändrar varken formen eller storleken på den. Dessa omvandlingar klassificeras i tre typer: översättning, rotation och reflektion (isometri). Generellt tillåter geometriska transformationer att skapa en ny figur från en annan given.

En omvandling till en geometrisk figur innebär att den på något sätt utsattes för någon förändring; det var att det var förändrat. Enligt originalets känsla och liknande i planet kan geometriska omvandlingar klassificeras i tre typer: isometrisk, isomorf och anamorf..

index

  • 1 Egenskaper
  • 2 typer
    • 2.1 Genom översättning
    • 2.2 Genom rotation
    • 2.3 Genom reflektion eller symmetri
  • 3 Sammansättning
    • 3.1 Sammansättning av en översättning
    • 3.2 Sammansättning av en rotation
    • 3.3 Sammansättning av en symmetri
  • 4 referenser

särdrag

Isometriska transformationer uppträder när segmentets storlek och vinklarna mellan den ursprungliga figuren och den transformerade är bevarade.

I denna typ av transformation förändras inte formen eller storleken på figuren (de är kongruenta), det är bara en förändring av positionen av figuren, antingen i orienteringen eller i riktningen. På så sätt kommer initiala och slutliga figurerna att vara likartade och geometriskt kongruenta.

Isometri avser jämlikhet; det vill säga att de geometriska figurerna kommer att vara isometriska om de har samma form och storlek.

I de isometriska transformationerna är det enda som kan observeras en förändring av positionen i planet, en styv rörelse sker, tack vare vilken figuren går från en inledande position till ett slutläge. Denna siffra heter homolog (liknande) av originalet.

Det finns tre typer av rörelser som klassificerar en isometrisk transformation: översättning, rotation och reflektion eller symmetri.

Typ

Genom översättning

Är de isometrier som tillåter att flytta i rak linje alla punkter i planet i en given riktning och avstånd.

När en siffra omvandlas genom översättning ändras inte dess orientering i förhållande till den ursprungliga positionen, inte heller förloras dess interna åtgärder, åtgärderna av dess vinklar och sidor. Denna typ av förskjutning definieras av tre parametrar:

- En adress, som kan vara horisontell, vertikal eller sned.

- En känsla, som kan vara till vänster, höger, upp eller ner.

- Avstånd eller storlek, som är längden från den ursprungliga positionen till slutet av en punkt som rör sig.

För att en isometrisk transformation genom översättning ska uppfyllas måste den uppfylla följande villkor:

- Figuren måste alltid hålla alla sina dimensioner, både linjära och vinkliga.

- Figuren ändrar inte sin position i förhållande till den horisontella axeln; det vill säga dess vinkel varierar aldrig.

- Översättningarna kommer alltid att sammanfattas i ett, oberoende av antalet översättningar som gjorts.

I ett plan där mitten är en punkt O, med koordinater (0,0), definieras översättningen av en vektor T (a, b) som indikerar förskjutningen av startpunkten. Det är:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Om exempelvis en översättning T (-4, 7) appliceras på koordinatpunkten P (8, -2) erhåller vi:

P (8,2) + T (-4,7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P'

I följande bild (vänster) kan man se hur punkt C rörde sig samman med punkt D. Det gjorde det i vertikal riktning, riktningen var uppåt och CD-avståndet eller magneten var 8 meter. I rätt bild observeras översättningen av en triangel:

Genom rotation

De är de isometrier som tillåter figuren att rotera alla punkter i ett plan. Varje punkt roterar efter en båge som har en konstant vinkel och en fast punkt (rotationscentrum) bestäms.

Det vill säga all rotation kommer att definieras av dess rotationscentrum och rotationsvinkel. När en figur omvandlas genom rotation, håller den måttet på dess vinklar och sidor.

Rotationen sker i en viss riktning, är positiv när rotationen är moturs (i motsats till hur klockans händer roterar) och negativt när rotationen är medurs.

Om en punkt (x, y) roteras med avseende på ursprunget - det vill säga dess rotationscentrum är (0,0) - i en vinkel på 90eller till 360eller Punkternas koordinater är:

Om rotationen inte har något centrum vid ursprunget, måste koordinatsystemets ursprung överföras till det nya givna ursprunget för att kunna rotera figuren som har sitt ursprung.

Till exempel, om punkten P (-5.2) ges en rotation på 90eller, runt ursprunget och i positiv mening blir dess nya koordinater (-2,5).

Genom reflektion eller symmetri

De är de omvandlingar som inverterar planetens punkter och figurer. Denna investering kan vara med avseende på en punkt eller det kan också vara med avseende på en rak linje.

Med andra ord, i denna typ av transformation, är varje punkt i den ursprungliga figuren associerad med en annan punkt (bild) hos den homologa figuren på ett sådant sätt att punkten och dess bild ligger i samma avstånd från en linje som kallas symmetriaxeln..

Således kommer den vänstra delen av figuren att återspegla den högra delen utan att ändra dess form eller dess dimensioner. Symmetrien omvandlar en figur till en annan, om än i motsatt riktning, som kan ses i följande bild:

Symmetri är närvarande i många aspekter, som i vissa växter (solrosor), djur (påfågel) och naturfenomen (snöflingor). Människan återspeglar det på hans ansikte, vilket anses vara en skönhetsfaktor. Reflektionen eller symmetrin kan vara av två typer:

Central symmetri

Det är den omvandlingen som sker med avseende på en punkt, där figuren kan ändra dess orientering. Varje punkt i den ursprungliga figuren och dess bild ligger i samma avstånd från en punkt O, som kallas symmetrins centrum. Symmetrin är central när:

- Både punkten och dess bild och centrum tillhör samma linje.

- Med en rotation av 180eller center O du får en figur som är lika med originalet.

- Streckningarna hos den ursprungliga figuren är parallella med den bildade figurens slag.

- Känslan av figuren ändras inte, det kommer alltid att vara medurs.

Denna omvandling sker till symmetriaxeln, där varje punkt i den ursprungliga siffran är associerad med en annan bildpunkt och dessa är på samma avstånd från symmetriaxeln. Symmetrin är axiell när:

- Segmentet som sammanfogar en punkt med sin bild är vinkelrätt mot symmetriskten.

- Figurerna ändrar riktningen med hänsyn till vridningen eller medurs.

- När man delar upp siffran med en central linje (symmetriaxeln) matchar en av de resulterande halvorna helt till en annan av halvorna.

komposition

En sammansättning av isometriska transformationer hänför sig till den successiva appliceringen av isometriska transformationer på samma figur.

Sammansättning av en översättning

Sammansättningen av två översättningar resulterar i en annan översättning. När den utförs på det plan, på den horisontella axeln (x) ändras endast koordinaterna för denna axel, medan de vertikala axelkoordinater (y) är lika, och vice versa.

Sammansättning av en rotation

Sammansättningen av två varv med samma centrum resulterar i en annan vridning, som har samma centrum och vars amplitud blir summan av amplituden hos de två varv.

Om mitten varv har ett annat centrum kommer skärningen av bisektorn av två segment av liknande punkter att vara mittpunkten för tur.

Sammansättning av en symmetri

I detta fall beror kompositionen på hur den appliceras:

- Om samma symmetri appliceras två gånger blir resultatet en identitet.

- Om två symmetrier appliceras med avseende på två parallella axlar, blir resultatet en översättning, och dess förskjutning är dubbelt så stor som avstånden för dessa axlar:

- Om två symmetrier appliceras med avseende på två axlar som skärs vid punkten O (centrum), erhålls en rotation med centrum vid O och vinkeln blir dubbelt så stor som vinkeln som bildas av axlarna:

referenser

  1. V Burgués, J. F. (1988). Material för att bygga geometri. Madrid: Syntes.
  2. Cesar Calavera, I.J. (2013). Teknisk ritning II. Paraninfo S.A: Ediciones de la Torre.
  3. Coxeter, H. (1971). Fundamentals of Geometry Mexiko: Limusa-Wiley.
  4. Coxford, A. (1971). Geometri En transformationsmetod. USA: Laidlaw Brothers.
  5. Liliana Siñeriz, R. S. (2005). Induktion och formalisering i undervisningen av de styva transformationerna i CABRI-miljön.
  6. , P.J. (1996). Gruppen av isometriska plan. Madrid: Syntes.
  7. Suárez, A.C. (2010). Transformationer i planet. Gurabo, Puerto Rico: AMCT .