Euclids teoremetabler, demonstration, ansökan och övningar



den Euclids teorem Det visar egenskaperna hos en rätvinklig triangel genom att dra en linje som delar den i två nya trianglar som liknar och i sin tur liknar den ursprungliga triangeln; då finns det en proportionalitetsförhållande.

Euclid var en av de största matematikerna och geometrarna i den gamla åldern som gjorde flera demonstrationer av viktiga teoremer. En av de viktigaste är den som bär sitt namn, som har haft en bred tillämpning.

Detta har varit så eftersom genom att sats säger helt enkelt existerande geometriska relationer i triangeln där benen på detta är relaterade till deras projektioner på hypotenusan.

index

  • 1 Formler och demonstration
    • 1.1 Höjdets stämning
    • 1.2 Benämning
  • 2 Förhållande mellan Euclids teoremer
  • 3 Övningar löst
    • 3.1 Exempel 1
    • 3.2 Exempel 2
  • 4 referenser

Formler och demonstration

Euklides sats antyder att alla rätvinklig triangel, när en linje som representerar höjd motsvarande spetsen av den räta vinkeln dras till hipotenusa- två rätvinkliga trianglar bildas från den ursprungliga.

Dessa trianglar kommer att likna varandra och kommer också att likna den ursprungliga triangeln, vilket innebär att deras liknande sidor är proportionella mot varandra:

De tre trianglarnas vinklar är kongruenta; det vill säga när den roteras till 180 grader på dess toppunkt sammanfaller en vinkel på den andra. Detta innebär att alla kommer att vara lika.

På detta sätt kan du också verifiera likheten som finns mellan de tre trianglarna, genom jämnhet av deras vinklar. Från likriktningen av trianglar fastställer Euclid proportionerna av dessa från två teoremer:

- Höjdteori.

- Benens ståndpunkt.

Denna teori har en bred tillämpning. I antiken var det vanligt att beräkna höjder eller avstånd, vilket representerar ett bra framsteg för trigonometri.

Det tillämpas för närvarande på flera områden som bygger på matematik, som teknik, fysik, kemi och astronomi, bland många andra områden.

Höjdteori

Detta teorem anges att varje rätvinklig triangel, höjden dras från rät vinkel mot hypotenusan är det geometriska medelvärdet proportionell (kvadraten på höjden) mellan projektionerna av benen bestämmer hypotenusan.

Det betyder att höjden är lika med multiplikationen av de projicerade benen som bildar hypotenusen:

hc2 = m * n

show

Eftersom, det är rektangel i vertex C, för att upprätta en triangel ABC två liknande trianglar, ADC och BCD genereras; Därför är deras motsvarande sidor proportionella:

På ett sådant sätt att höjden hc som motsvarar segmentet CD, motsvarar hypotenus AB = c, så måste vi:

Detta motsvarar i sin tur följande:

Rensa hypotenusen (hc), för att multiplicera de två jämställdhetsmedlemmarna måste du:

hc * hc = m * n

hc2 = m * n

Således ges hypotenusens värde av:

Benens ståndpunkt

Denna sats säger att i varje rätvinklig triangel, är omfattningen av varje ben proportionell geometriskt medelvärde (kvadraten på varje ben) mellan mått på hypotenusan (komplett) och varje projektion på detta:

b2 = c * m

till2 = c* n

show

Ges en triangel ABC, är att rektangeln vid vertex C, så att dess hypotenusa är c, genom att plotta höjd (h) projektionerna av benen b, vilka är segment m och n respektive, och vilka är på bestäms hypotenusen.

Sålunda måste höjden dras på triangeln ABC genererar två liknande rektanglar, trianglar ADC och BCD, så att motsvarande sidor är proportionella, och:

DB = n, vilket är projiceringen av CB-benet på hypotenusen.

AD = m, vilket är utsprånget av katetern AC på hypotenusen.

Sedan bestäms hypotenus c av summan av benen på dess utsprång:

c = m + n

På grund av likheten mellan trianglarna ADC och BCD måste vi:

Ovanstående är samma som:

Genom att rensa benet "a" för att multiplicera de två jämställdhetsmedlemmarna måste man:

till * a = c * n

till2 = c * n

Således är värdet av benet "a" givet av:

På samma sätt, genom likheten mellan trianglarna ACB och ADC, måste vi:

Ovanstående är lika med:

Genom att rensa benet "b" för att multiplicera de två jämställdhetsmedlemmarna måste man:

b * b = c * m

b2 = c * m

Således anges värdet på benet "b" av:

Förhållandet mellan Euclids teoremer

Teorierna med hänvisning till höjd och ben är relaterade till varandra eftersom måttet på båda är gjorda med avseende på hypotenusen i den rätta triangeln.

Genom Euclids teoriförhållanden kan värdet av höjd också hittas; det är möjligt genom att rensa värdena på m och n från benetoden och de ersätts i höjdsatsen. På detta sätt är höjden lika med multiplikationen av benen, dividerad med hypotenusen:

b2 = c * m

m = b2 ÷ c

till2 = c * n

n = a2 ÷ c

I höjdteoremet ersätts m och n:

hc2 = m * n

hc2 = (b2 ÷ c) * (a2 ÷ c)

hc = (b2* till2) ÷ c

Lösta övningar

Exempel 1

Med tanke på triangeln ABC, rektangel i A, bestämma mätningen av AC och AD, om AB = 30 cm och BD = 18 cm

lösning

I det här fallet har vi mätningarna av en av de projicerade benen (BD) och en av benen i den ursprungliga triangeln (AB). På så sätt kan du använda benteoretiken för att hitta värdet på BC-benet.

AB2 = BD * BC

(30)2 = 18 * BC

900 = 18 * BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Värdet av CD-katetern kan hittas genom att veta att BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Nu är det möjligt att bestämma värdet på katetern AC, om igen applicera benetoden:

AC2 = CD * BD

AC2 = 32 * 50

AC2 = 160

AC = √1600 = 40 cm

För att bestämma värdet på höjden (AD) tillämpas höjdsatsen eftersom värdena på de projicerade benen CD och BD är kända:

AD2 = 32 * 18

AD2 = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Exempel 2

Bestäm värdet på höjden (h) för en triangel MNL, rektangel i N, med kännedom om segmentens mätningar:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

lösning

Du har mätning av en av de ben som projiceras på hypotenusen (PM), liksom mätningarna av benen i den ursprungliga triangeln. På så sätt kan benteoretiken appliceras för att hitta värdet av det andra projicerade benet (LN):

NL2 = PM * LM

(10)2 = 5 * LM

100 = 5 * LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Såsom är känt värdet av benen och hypotenusan, genom förhållandet satser höjd och benen kan bestämma höjden värdet:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b2* till2) ÷ c.

h = (102* 52)  ÷ (20)

h = (100 * 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

referenser

  1. Braun, E. (2011). Chaos, fraktaler och konstiga saker. Ekonomisk kulturfond.
  2. Cabrera, V. M. (1974). Modern matematik, volym 3.
  3. Daniel Hernandez, D. P. (2014). 3: e år matematik Caracas: Santillana.
  4. Encyklopedi Britannica, jag. (1995). Hispanic Encyclopedia: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
  5. Euclid, R.P. (1886). Euclids geometriska element.
  6. Guardeño, A.J. (2000). Matematikens arv: från Euclid till Newton, genierna genom sina böcker. University of Seville.