Bolzans teoremförklaring, tillämpningar och övningar löses

den Bolzano teorem säger att om en funktion är kontinuerlig i alla punkter av en sluten intervallet [a, b] och håller bilden av "a" och "b" (låg funktion) har motsatta tecken, då kommer det att finnas åtminstone en punkt "C" i det öppna intervallet (a, b), så att funktionen som utvärderas i "c" kommer att vara lika med 0.

Denna sats har formulerats av filosofen, teologen och matematikern Bernard Bolzano i 1850. Detta vetenskapsman, född i nuvarande Tjeckien var ett av de första matematiker i historien att göra en formell demonstration av egenskaperna hos kontinuerliga funktioner.

index

• 1 Förklaring
• 2 Demonstration
• 3 Vad är det för??
• 4 Övningar löst
  • 4.1 Övning 1
  • 4.2 Övning 2
• 5 referenser

förklaring

Bolzans teorem är också känd som mellanvärdessatsen, vilket hjälper till att bestämma specifika värden, i synnerhet nollor, av vissa reella funktioner av en verklig variabel.

I en given funktion fortsätter f (x), dvs f (a) och f (b) är kopplade med en kurva, där f (a) ligger under x-axeln (är negativ) och f (b) är ovanför x-axeln (det är positivt) eller vice versa kommer det grafiskt att finnas en skärpunkt på x-axeln som kommer att representera ett mellanvärde "c" som kommer att ligga mellan "a" och "b" och värdet på f (c) kommer att vara lika med 0.

Genom att grafiskt analysera Bolzans teorem kan vi veta att för varje funktion f kontinuerligt definierad i ett intervall [a, b], där f (a)_*f (b) är mindre än 0, kommer det att finnas minst en rot "c" av den funktionen inom intervallet (a, b).

Denna stämning fastställer inte antalet punkter som existerar i det öppna intervallet, bara anger att det finns minst 1 poäng.

show

För att bevisa Bolzans teorem antas det utan förlust av allmänt att f (a) < 0 y f(b) > 0; På så sätt kan det finnas många värden mellan "a" och "b" för vilket f (x) = 0, men du behöver bara visa att det finns en.

Börja med att utvärdera f vid mittpunkten (a + b) / 2. Om f ((a + b) / 2) = 0 slutar testet här; annars är f ((a + b) / 2) positiv eller negativ.

En av halvorna av intervallet [a, b] väljs, så att tecknen på funktionen som utvärderas vid ändarna är olika. Detta nya intervall blir [a1, b1].

Om f utvärderas i mitten av [a1, b1] inte är noll, görs samma operation som tidigare; det vill säga, hälften av detta intervall som uppfyller villkoren för tecknen är vald. Var detta nya intervall [a2, b2].

Om denna process fortsätter kommer två följder an och bn att tas, så att:

an ökar och bn minskar:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Om du beräknar längden på varje intervall [ai, bi] måste du:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Därför är gränsen när n tenderar att vara oändligt (bn-an) lika med 0.

Att använda an ökar och begränsas och bn sänker och begränsas, det måste vara ett värde "c" så att:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Gränsen för en är "c" och gränsen för bn är också "c". Därför är det alltid en "n", med tanke på någon δ> 0, att intervallet [an, bn] finns inom intervallet (c-δ, c + δ).

Nu måste det visas att f (c) = 0.

Om f (c)> 0, då f är kontinuerlig, finns en ε> 0 sådan att f är positiv under hela intervallet (c-e, c + e). Men som nämnts ovan finns ett värde "n" så att f ändringar loggar in [an, bn] och dessutom finns [an, bn] inom (c-e, c + e), vad är en motsägelse.

Om f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 så att f är negativt under intervallet (c-e, c + e); men det finns ett värde "n" så att f ändringar loggar in [an, bn]. Det visar sig att [an, bn] ingår i (c-e, c + e), vilket också är en motsägelse.

Därför f (c) = 0 och det här är vad vi ville visa.

Vad är det för??

Från den grafiska tolkningen är Bolzano teorem används för att hitta rötter eller nollor i en kontinuerlig funktion genom TUDELNING (approximation), vilket är en metod som alltid delar inkrementell sökning intervall 2.

Ta sedan ett intervall [a, c] eller [c, b] där teckenförändringen sker och upprepa processen tills intervallet är mindre och mindre, så att du kan närma sig det värde du vill ha; det vill säga det värde som funktionen gör 0.

Sammanfattningsvis, för att tillämpa Bolzano satser och därmed hitta rötterna, avgränsa nollor av en funktion eller ge lösningen till en ekvation, utförs följande steg:

- Det är verifierat om f är en kontinuerlig funktion i intervallet [a, b].

- Om intervallet inte anges ska man hitta där funktionen är kontinuerlig.

- Det kontrolleras om intervallets ytterligheter ger motsatta tecken när de utvärderas i f.

- Om motsatta tecken inte erhålls ska intervallet delas in i två delintervaller med hjälp av mittpunkten.

- Utvärdera funktionen vid mittpunkten och verifiera att Bolzano-hypotesen är uppfylld, där f (a) _* f (b) < 0.

- Beroende på tecknet (positivt eller negativt) av det funna värdet upprepas processen med en ny underintervall tills den nämnda hypotesen är uppfylld.

Lösta övningar

Övning 1

Bestäm om funktionen f (x) = x² - 2, har åtminstone en reell lösning i intervallet [1,2].

lösning

Vi har funktionen f (x) = x² - 2. Eftersom det är polynom, betyder det att det är kontinuerligt i vilket intervall som helst.

Du blir ombedd att bestämma om du har en riktig lösning i intervallet [1, 2], så nu behöver du bara byta intervallets ändpunkter i funktionen för att känna tecknet på dessa och veta om de uppfyller villkoren för att vara annorlunda:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (negativ)

f (2) = 2² - 2 = 2 (positiv)

Därför tecken på f (1) ≠ tecken f (2).

Detta säkerställer att det finns minst en punkt "c" som hör till intervallet [1,2], där f (c) = 0.

I detta fall kan värdet av "c" enkelt beräknas enligt följande:

x² - 2 = 0

x = ± √2.

Således hör √2 ≈ 1,4 till intervallet [1,2] och uppfyller det f (√2) = 0.

Övning 2

Bevis att ekvationen x⁵ + x + 1 = 0 har minst en riktig lösning.

lösning

Först noterar att f (x) = x⁵ + x + 1 är en polynomial funktion, vilket betyder att det är kontinuerligt i alla reella tal.

I detta fall ges inget intervall, så värden ska väljas intuitivt, helst nära 0, för att utvärdera funktionen och hitta teckenförändringarna:

Om du använder intervallet [0, 1] måste du:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Eftersom det inte finns någon teckenförändring upprepas processen med ett annat intervall.

Om du använder intervallet [-1, 0] måste du:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

I detta intervall finns ett teckenbyte: tecken på f (-1) ≠ tecken på f (0), vilket betyder att funktionen f (x) = x⁵ + x + 1 har minst en riktig rot "c" i intervallet [-1, 0], så att f (c) = 0. Med andra ord är det sant att x⁵ + x + 1 = 0 har en riktig lösning i intervallet [-1,0].

referenser

1. Bronshtein I, S. K. (1988). Manuell matematik för ingenjörer och studenter ... Redaktionell MIR.
2. George, A. (1994). Matematik och sinne. Oxford University Press.
3. Ilín V, P. E. (1991). Matematisk analys I tre volymer ...
4. Jesús Gomez, F. G. (2003). Lärare av gymnasiet. Volym II. TOKIG.
5. Mateos, M. L. (2013). Grundläggande egenskaper hos analysen i R. Editores, dec 20.
6. Piskunov, N. (1980). Differential och Integral Calculus ...
7. Sydsaeter K, H. P. (2005). Matematik för ekonomisk analys. Felix Varela.
8. William H. Barker, R.H. (s.f.). Kontinuerlig symmetri: Från Euklid till Klein. Amerikansk matematisk soc.