Bayes teoremförklaring, applikationer, övningar



den Bayes teorem är ett förfarande som tillåter oss att uttrycka den villkorliga sannolikheten för en slumpmässig händelse En given B, med avseende på sannolikhetsfördelningen av händelse B givet A och sannolikhetsfördelningen av endast A.

Denna ståndpunkt är mycket användbar, för tack vare det kan vi relatera sannolikheten för att en händelse A inträffar med att B uppstod, med sannolikheten för att motsatsen uppträder, det vill säga att B förekommer A.

Bayes teorem var en silver proposition med pastor Thomas Bayes, en engelsk teolog av sjuttonhundratalet som också var en matematiker. Han var författare till flera verk om teologi, men idag är känd för ett par matematiska avhandlingar, bland vilka de viktigaste resultat som redan nämnts Bayes teorem.

Bayes behandlat denna sats i en uppsats med titeln "An Essay att lösa ett problem i läran om Chances" (Ett försök att lösa ett problem i läran om chanser), som publicerades i 1763, och på vilken de har utvecklat stora Studier med applikationer inom olika kunskapsområden.

index

  • 1 Förklaring
  • 2 tillämpningar av Bayes teorem
    • 2.1 Upplösta övningar
  • 3 referenser

förklaring

Först för att ytterligare förstå denna ståndpunkt är några grundläggande begrepp av sannolikhetsteori nödvändiga, speciellt multiplikationssatsen för villkorlig sannolikhet, vilket säger att

För E och A godtyckliga händelser i ett provutrymme S.

Och definitionen av partitioner, som berättar för oss att om vi har A1 ,EN2,..., An händelser i ett provutrymme S, kommer dessa att bilda en partition av S, om Ajag de utesluter varandra och deras fackförening är S.

Med detta, låt B vara en annan händelse. Då kan vi se B som

Där Ajag korsade med B utesluter varandra ömsesidiga händelser.

Och följaktligen,

Sedan applicerar multiplikationssatsen

Å andra sidan definieras den villkorade sannolikheten för Ai givet B av

Att ersätta tillräckligt måste vi för någon jag

Tillämpningar av Bayes teorem

Tack vare detta resultat har forskargrupper och diverse företag lyckats förbättra systemen som bygger på kunskap.

Till exempel i studien av sjukdomar, kan Bayes teorem hjälpa urskilja sannolikheten för att en sjukdom förekommer i en grupp människor med en viss egenskap, att som datahastigheter övergripande sjukdom och förekomsten av sådana funktioner människor både friska och sjuka.

Å andra sidan har i världen av högteknologi påverkat stora företag som har utvecklat, tack vare detta resultat, programvaran "Baserad på Kunskap".

Som ett vardagsexempel har vi Microsoft Office assistent. Bayes teorem hjälper programvaran för att utvärdera problemen med användaren och avgöra vilka ger råd och erbjuder dig en bättre service enligt användarens vanor.

Notera att denna formel ignorerades tills nyligen, är detta främst på grund när detta resultat utvecklades för 200 år sedan, det var lite praktisk användning för dem. Men i vår tid, tack vare de stora tekniska framstegen, har forskare uppnått sätt att sätta detta resultat i praktiken.

Lösta övningar

Övning 1

Ett mobilföretag har två maskiner A och B. 54% av de producerade mobiltelefonerna tillverkas av maskin A och resten av maskin B. Inte alla producerade mobiltelefoner är i gott skick.

Andelen defekta mobiltelefoner som gjorts av A är 0,2 och med B är 0,5. Vad är sannolikheten för att en mobiltelefon på fabriken är defekt? Vad är sannolikheten för att man vet att en mobiltelefon är defekt, kommer från maskin A?

lösning

Här har du ett experiment som görs i två delar; I den första delen sker händelserna:

A: Mobiltelefon tillverkad av maskin A.

B: mobiltelefon tillverkad av maskin B.

Eftersom maskin A producerar 54% av mobiltelefoner och resten produceras av maskin B, producerar maskin B 46% av mobiltelefoner. Sannolikheten för dessa händelser ges, nämligen:

P (A) = 0,54.

P (B) = 0,46.

Händelserna i experimentens andra del är:

D: defekt cell.

E: icke-defekt cell.

Som det sägs i uttalandet beror sannolikheten för dessa händelser på resultatet som erhållits i första delen:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0,5.

Med hjälp av dessa värden kan du också bestämma sannolikheten för komplementen till dessa händelser, det vill säga:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0,2

= 0,8

och

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Nu kan händelse D skrivas enligt följande:

Med hjälp av multiplicationssatsen för villkorad sannolikhet resulterar det:

Med vilken den första frågan besvaras.

Nu behöver vi bara beräkna P (A | D), för vilket Bayes teorem gäller:

Tack vare Bayes teorem kan vi säga att sannolikheten för att en cell har gjorts av maskinen, i vetskap om att cellen är defekt, är 0,319.

Övning 2

Tre lådor innehåller vita och svarta bollar. Sammansättningen av var och en av dem är följande: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.

En av lådorna väljs slumpmässigt och en slumpmässig boll extraheras från den, som visar sig vara vit. Vilken är rutan som sannolikt har blivit vald?

lösning

Via U1, U2 och U3 representerar vi också den valda rutan.

Dessa händelser utgör en partition av S och det är verifierat att P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 eftersom valet av lådan är slumpmässig.

Om B = den extraherade bollen är vit, kommer vi att ha P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .

Vad vi vill få är sannolikheten för att bollen togs ur lådan. Ui visste att bollen var vit, det vill säga P (Ui | B) och se vilken av de tre värdena som var högst att veta vilket lådan har sannolikt varit utvinning av den vita bollen.

Tillämpa Bayes-steget till det första av lådorna:

Och för de andra två:

P (U2 | B) = 2/6 och P (U3 | B) = 1/6.

Sedan är den första av lådorna den som har en högre sannolikhet att ha blivit vald för utvinning av den vita bollen.

referenser

  1. Kai Lai Chung Elementär förmågasteori med stokastiska processer. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen. Diskret matematik och dess tillämpningar. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Sannolikhet och statistiska tillämpningar. Inc. MEXICAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Diskret matematik Lös problem. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori och probabilities of probability. McGraw-Hill.