Vad är relativa kusiner? Egenskaper och exempel



Det heter relativa kusiner (coprimos eller kusiner i förhållande till varandra) till några par heltal som inte har någon divisor gemensamt, förutom 1.

Med andra ord är två hela siffror relativa kusiner om de i sin nedbrytning i primtal har ingen gemensam faktor.

Om till exempel, om 4 och 25 är valda, är de primära faktorupplösningarna av vardera 2 respektive 5 respektive. Som det uppskattas har dessa inte någon gemensam faktor, därför är 4 och 25 relativt kusiner.

Å andra sidan, om 6 och 24 är utvalda, när de utför sina nedbrytningar i primära faktorer, erhåller vi det 6 = 2 * 3 och 24 = 2³ * 3.

Som du kan se har dessa två sista uttryck åtminstone en faktor gemensamt, därför är de inte relativt primära.

Relativa kusiner

En sak att vara försiktig med är att säga att ett par heltal är relativa primer är att detta inte innebär att någon av dem är ett huvudtal.

Vidare kan ovanstående definition sammanfattas på följande sätt: två heltal "a" och "b" är relativt prima om, och endast om den största gemensamma delaren av dessa är en, d.v.s. gcd ( a, b) = 1.

Två omedelbara slutsatser av denna definition är följande:

-Om "a" (eller "b") är ett primärtal, då mcd (a, b) = 1.

-Om "a" och "b" är prime nummer, då mcd (a, b) = 1.

Det vill säga, om åtminstone ett av de valda numren är ett primärtal, så är paret direkt det relativa primtalet.

Andra funktioner

Andra resultat som används för att bestämma om två siffror är relativa primer är:

-Om två heltal är i följd är dessa relativt kusiner.

-Två naturliga tal "a" och "b" är relativa primer om och endast om siffrorna "(2 ^ a) -1" och "(2 ^ b) -1" är relativa primer.

-två heltal "a" och "b" är relativt prima om, och endast om, plotta den punkt (a, b) i planet, och konstruera linjen genom origo (0,0) och (a , b) innehåller inte några punkter med hela koordinater.

exempel

1.- Tänk på heltal 5 och 12. De primära faktoravbrotten i båda talen är: 5 respektive 2 ² * 3. Sammanfattningsvis är gcd (5,12) = 1, därför 5 och 12 relativt primära.

2.- Låt siffrorna -4 och 6. Då -4 = -2² och 6 = 2 * 3, så att LCD-skärmen (-4.6) = 2 ≠ 1. Sammanfattningsvis är -4 och 6 inte relativa kusiner.

Om vi ​​fortsätter att gradera linjen som passerar genom de beställda paren (-4.6) och (0.0), och bestämma ekvationen för den här raden, kan vi verifiera att den passerar genom punkten (-2.3).

Återigen sluts det att -4 och 6 inte är relativa kusiner.

3.- Nummerna 7 och 44 är relativa primer och kan snabbt avslutas tack vare ovanstående, eftersom 7 är ett primtal.

4.- Tänk på numren 345 och 346. Att vara två på varandra följande siffror verifieras att mcd (345,346) = 1, därför är 345 och 346 relativa primer.

5.- Tanke numren 147 och 74, då dessa är relativt prima, eftersom 147 = 3 * 7² och 74 = 2 * 37 därför gcd (147,74) = 1.

6.- Numren 4 och 9 är relativa primer. För att visa detta kan den andra karakteriseringen som nämns ovan användas. I själva verket är 2 ^ 4-1 = 16-1 = 15 och 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

Siffror erhålls är 15 och 511. De nedbrytningar prime faktorisering av dessa siffror är 3 * 5 7 * 73 respektive, så att gcd (15.511) = 1.

Som du kan se är det en längre och mer krävande uppgift att använda den andra karaktären än att verifiera den direkt.

7.- Tänk på siffrorna -22 och -27. Därefter kan dessa siffror omskrivas enligt följande: -22 = -2 * 11 och -27 = -3³. Därför är gcd (-22, -27) = 1, så -22 och -27 relativa primer.

referenser

  1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introduktion till talteori. EUNED.
  2. Bourdon, P. L. (1843). Aritmetiska element. Bokhandeln av herrarna och barnens söner i Calleja.
  3. Castañeda, S. (2016). Grundkurs i talteori. University of the North.
  4. Guevara, M.H. (s.f.). Satsen av hela numren. EUNED.
  5. Högre institut för lärarutbildning (Spanien), J. L. (2004). Antal, former och volymer i barnets miljö. Utbildningsdepartementet.
  6. Palmer, C. I., & Bibb, S. F. (1979). Praktisk matematik: aritmetisk, algebra, geometri, trigonometri och glidregeln (tryckt utgåva). Reverte.
  7. Rock, N. M. (2006). Algebra Jag är lätt! Så enkelt. Team Rock Press.
  8. Smith, S. A. (2000). algebra. Pearson Education.
  9. Szecsei, D. (2006). Grundläggande matematik och pre-algebra (illustrerad utgåva). Karriär Press.
  10. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2: a matematik kurs. Editorial Progreso.
  11. Wagner, G., Caicedo, A., & Colorado, H. (2010). Grundläggande principer för aritmetik. ELIZCOM S.A.S.