Egenskaper för jämlikhet

den egenskaper av jämlikhet De hänvisar till förhållandet mellan två matematiska objekt, antingen siffror eller variabler. Den betecknas med symbolen "=", som alltid går in mellan dessa två objekt. Detta uttryck används för att fastställa att två matematiska objekt representerar samma objekt; I ett annat ord är de två föremålen samma sak.

Det finns fall där det är trivialt att använda jämställdhet. Det är till exempel tydligt att 2 = 2. Men när det gäller variabler är det inte längre trivialt och har särskilda användningsområden. Om du till exempel har y = x och å andra sidan x = 7 kan du slutsatsen att y = 7 också.

Det föregående exemplet är baserat på en av egenskaperna av jämlikhet, vilket kommer att ses inom kort. Dessa egenskaper är nödvändiga för att lösa ekvationer (jämlikheter med variabler), vilket utgör en mycket viktig del i matematiken.

index

• 1 Vad är likvärdighetens egenskaper??
  • 1.1 Reflekterande egendom
  • 1.2 Symmetrisk egenskap
  • 1.3 Transitiv egenskap
  • 1.4 Enhetlig egendom
  • 1,5 Avbokningsfastighet
  • 1.6 Ersättningsfastighet
  • 1.7 Maktens egenskaper i jämställdhet
  • 1.8 Rots egenskaper i jämställdhet
• 2 referenser

Vilka egenskaper är jämlikhetens egenskaper??

Reflekterande egendom

Reflekterande egenskaper, när det gäller jämlikhet, säger att varje tal är lika med sig själv och uttrycks som b = b för vilket som helst reellt tal b.

I det särskilda fallet med likhet verkar denna egenskap vara uppenbar, men i en annan typ av relation mellan siffror är det inte. Med andra ord uppfyller inte varje relation av reella tal denna egenskap. Ett sådant fall av "mindre än" förhållandet (<); ningún número es menor que sí mismo.

Symmetrisk egenskap

Den symmetriska egenskapen för jämlikhet säger att om a = b, då b = a. Oavsett vilken ordning som används i variablerna, kommer detta att bevaras av jämlikhetsförhållandet.

En viss analogi av den här egenskapen kan observeras med den kommutativa egenskapen vid tillsättning. På grund av den här egenskapen motsvarar det till exempel att skriva y = 4 eller 4 = y.

Transitiv egenskap

Den transitiva egenskapen i jämlikhet anger att om a = b och b = c, då a = c. Till exempel 2 + 7 = 9 och 9 = 6 + 3; Därför har vi genom transiten egenskapen 2 + 7 = 6 + 3.

En enkel applikation är följande: Antag att Julian är 14 år och att Mario är samma ålder som Rosa. Om Rosa är samma ålder som Julian, hur gammal är Mario??

Bakom detta scenario används den transitiva egenskapen två gånger. Matematiskt tolkar den så här: vara "en" åldern av mario, "b" åldern av rosa och "c" ålder av julian. Det är känt att b = c och att c = 14.

För den transitiva egenskapen har vi det b = 14; det vill säga Rosa är 14 år gammal. Eftersom a = b och b = 14, använder vi igen den transitiva egenskapen vi har a = 14; det vill säga att mario ålder är också 14 år.

Enhetlig egendom

Den enhetliga egendomen är att, om båda sidor av jämlikhet läggs till eller multipliceras med samma mängd, bevaras jämlikheten. Till exempel, om 2 = 2, sedan 2 + 3 = 2 + 3, vilket är klart, då 5 = 5. Den här egenskapen har mer användbarhet när det gäller att lösa en ekvation.

Antag exempelvis att du blir ombedd att lösa ekvationen x-2 = 1. Det är lämpligt att komma ihåg att lösa en ekvation består av att uttryckligen bestämma variabeln (eller variablerna) som är inblandade, baserat på ett visst tal eller en tidigare specificerad variabel.

Återgå till ekvationen x-2 = 1, vad som måste göras är att uttryckligen hitta hur mycket x är värt. För att göra detta måste variabeln rensas.

Det har felaktigt lärt sig att i det här fallet, eftersom nummer 2 är negativt, passerar det till den andra sidan likheten med ett positivt tecken. Men det är inte korrekt att säga det så.

I grund och botten är det som görs att tillämpa den enhetliga egendomen, som vi kommer att se nedan. Tanken är att rensa "x"; det vill säga lämna det ensamt på ena sidan av ekvationen. Enligt konventionen är det vanligtvis kvar till vänster.

För detta ändamål är numret som du vill "eliminera" -2. Sättet att göra det skulle vara att lägga till 2, eftersom -2 + 2 = 0 och x + 0 = 0. För att kunna göra detta utan att ändra jämställdhet måste samma operation tillämpas på andra sidan.

Detta gör att den enhetliga egendomen kan realiseras: som x-2 = 1, om numret 2 läggs till på båda sidor om jämlikheten, säger den enhetliga egendomen att detsamma inte förändras. Då har vi det x-2 + 2 = 1 + 2, vilket motsvarar att vi säger att x = 3. Med detta skulle ekvationen lösas.

På samma sätt, om du vill lösa ekvationen (1/5) y-1 = 9, kan du fortsätta med den enhetliga egenskapen enligt följande:

Mer generellt kan följande uttalanden göras:

- Om a-b = c-b, då a = c.

- Om x-b = y, då x = y + b.

- Om (1 / a) z = b, då z = a ×

- Om (1 / c) a = (1 / c) b, då a = b.

Avbokningsfastighet

Avbeställningsegenskapen är ett särskilt fall av enhetligt ägande, särskilt med tanke på subtraktion och delning (som i slutändan också motsvarar addition och multiplikation). Denna egenskap behandlar detta fall separat.

Till exempel om 7 + 2 = 9, då 7 = 9-2. Eller om 2y = 6, då y = 3 (dela med två på båda sidor).

Analogt med föregående fall kan följande uttalanden fastställas genom avbokningsegenskapen:

- Om a + b = c + b, då a = c.

- Om x + b = y, då x = y-b.

- Om az = b, då z = b / a.

- Om ca = cb, då a = b.

Ersättningsfastighet

Om vi ​​vet värdet av ett matematiskt objekt anger substitutionsegenskapen att detta värde kan ersättas i någon ekvation eller uttryck. Om b = 5 och a = bx till exempel ersätter värdet för "b" i den andra likheten, har vi det a = 5x.

Ett annat exempel är följande: Om "m" delar "n" och även "n" delar "m", måste det vara att m = n.

I själva verket att säga att "m" delar "n" (eller likvärdigt, att "m" är en divisor av "n") betyder att divisionen m ÷ n är exakt; det vill säga genom att dividera "m" med "n" får du ett heltal, inte ett decimaltal. Detta kan uttryckas genom att säga att det finns ett heltal "k" så att m = k × n.

Eftersom "n" också delar "m", så finns det ett heltal "p" så att n = p × m. För substitutionsegenskapen har vi det n = p × k × n, och för att detta ska hända finns det två möjligheter: n = 0, i vilket fall vi skulle ha identiteten 0 = 0; eller p × k = 1, där identitet skulle vara n = n.

Antag att "n" är nonzero. Då nödvändigtvis p × k = 1; därför p = 1 och k = 1. Användning av substitutionsegenskapen, när man ersätter k = 1 i jämlikheten m = k × n (eller ekvivalent, p = 1 i n = p × m), erhålls äntligen att m = n, vilket var vad man ville demonstrera.

Ägande av makten i en jämlikhet

Som tidigare sågs det att om en operation görs som summa, multiplikation, subtraktion eller uppdelning i båda likvärdighetsvillkoren, bevaras den på samma sätt som andra åtgärder kan tillämpas som inte förändrar en jämlikhet.

Nyckeln är att alltid göra det på båda sidor om jämställdheten och att i förväg se till att operationen kan utföras. Sådan gäller empowerment; det vill säga, om båda sidor av en ekvation är upptagna till samma kraft, finns det fortfarande en jämlikhet.

Till exempel, som 3 = 3, sedan 3²= 3² (9 = 9). I allmänhet ges ett heltal "n", om x = y, sedan xⁿ= yⁿ.

Fastighetens rot i en jämlikhet

Detta är ett särskilt fall av potentiering och tillämpas när kraften är ett icke-heltal rationellt tal, såsom ½, vilket representerar kvadratroten. Denna egenskap säger att om samma rot tillämpas på båda sidor om jämlikhet (om möjligt), jämställdhet bevaras.

Till skillnad från det föregående fallet måste du vara försiktig med pariteten hos den rot som ska tillämpas, eftersom det är välkänt att den jämnaste roten till ett negativt tal inte är väldefinierat.

I det fall att radikalen är jämn är det inget problem. Till exempel, om x³= -8, även om det är en jämlikhet, kan du till exempel inte tillämpa en kvadratroten på båda sidor. Men om du kan tillämpa en kubisk rot (vilket är ännu mer bekvämt om du vill uttryckligen veta värdet av x), får du det x = -2.

referenser

1. Aylwin, C. U. (2011). Logik, uppsättningar och siffror. Mérida - Venezuela: Publikationsrådet, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. tröskel.
3. Lira, M. L. (1994). Simon och matematik: Matematiktext för andra grundåret: studentbok. Andres Bello.
4. Preciado, C. T. (2005). Matematikkurs 3o. Editorial Progreso.
5. Segovia, B.R. (2012). Matematiska aktiviteter och spel med Miguel och Lucia. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2: a matematik kurs. Editorial Progreso.