Anmärkningsvärda produkter förklaringar och övningar lösas

den anmärkningsvärda produkter de är algebraiska operationer, där multiplikationer av polynomier uttrycks, vilka inte behöver lösas traditionellt, men med hjälp av vissa regler kan du hitta resultaten av dem.

Polynomier multipliceras med sig själva, därför kan de ha ett stort antal termer och variabler. För att processen ska bli kortare används reglerna för de anmärkningsvärda produkterna, vilket gör att multiplikationer kan göras utan att behöva gå efter termen..

index

• 1 Anmärkningsvärda produkter och exempel
  • 1.1 Binomial kvadrat
  • 1.2 Produkt av konjugerade binomialer
  • 1.3 Produkt av två binomialer med en gemensam term
  • 1.4 Polynomial kvadrerad
  • 1.5 Binomial till kuben
  • 1,6 Skopa av en trinomial
• 2 Övningar löses för anmärkningsvärda produkter
  • 2.1 Övning 1
  • 2.2 Övning 2
• 3 referenser

Anmärkningsvärda produkter och exempel

Varje anmärkningsvärd produkt är en formel som härrör från en faktorisering, som består av polynom med olika termer som binomialer eller trinomier, kallade faktorer.

Faktorerna är grunden för en kraft och har en exponent. När faktorerna multipliceras måste exponenterna läggas till.

Det finns flera anmärkningsvärda produktformler, vissa används mer än andra, beroende på polynomerna, och de är följande:

Binomial kvadrerad

Det är en multiplikation av ett binomial i sig, uttryckt i form av kraft, där termerna läggs till eller subtraheras:

a. Binomial av summan till torget: är lika med kvadraten för första termen plus två gånger produkten av villkoren, plus kvadraten för andra termen. Den uttrycks som följer:

(a + b)² = (a + b) _* (a + b).

Följande bild visar hur produkten utvecklas enligt ovannämnda regel. Resultatet kallas trinomialen av en perfekt kvadrat.

Exempel 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Exempel 2

(4a + 2b) = (4a)² + 2 (4a _* 2b) + (2b)²

(4a + 2b) = 8a² + 2 (8ab) + 4b²

(4a + 2b) = 8a² + 16 ab + 4b².

b. Binomial av en subtraktion kvadrerade: samma regel gäller binomialen av en summa, bara att i det här fallet andra termen är negativ. Dess formel är följande:

(a - b)² = [(a) + (- b)]²

(a - b)² = a² +den 2: a _* (-b) + (-b)²

(a - b)²  = a² - 2ab + b².

Exempel 1

(2x - 6)² = (2x)² - 2 (2x _* 6) + 6²

(2x - 6)²  = 4x² - 2 (12x) + 36

(2x - 6)² = 4x² - 24x + 36.

Produkt av konjugerade binomialer

Två binomialer är konjugerade när de andra termerna av var och en är av olika tecken, det vill säga den första är positiv och den andra negativa eller vice versa. Lös genom att höja varje monomy kvadrat och subtrahera. Dess formel är följande:

(a + b) _* (a - b)

I följande figur utvecklas produkten av två konjugerade binomialer, där det observeras att resultatet är en kvadratskillnad.

Exempel 1

(2a + 3b) (2a-3b) = 4a² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)²)

(2a + 3b) (2a-3b) = 4a² - 9b².

Produkt av två binomialer med en gemensam term

Det är en av de mest komplexa och lite använda anmärkningsvärda produkterna eftersom det är en multiplikation av två binomialer som har en gemensam term. Regeln anger följande:

• Kvadraten av den gemensamma termen.
• Plus lägg till de termer som inte är vanliga och multiplicera dem med den gemensamma termen.
• Plus summan av multiplikationen av termer som inte är vanliga.

Den representeras i formeln: (x + a) _* (x + b) och den är utvecklad som visas i bilden. Resultatet är en kvadratisk trinomial som inte är perfekt.

(x + 6) _* (x + 9) = x² + (6 + 9) _* x + (6 _* 9)

(x + 6) _* (x + 9) = x² + 15x + 54.

Det finns en möjlighet att andra termen (den andra termen) är negativ och dess formel är följande: (x + a) _* (x - b).

Exempel 2

(7x + 4) _* (7x - 2) = (7x _* 7x) + (4-2)_* 7x + (4 _* -2)

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x² + (2)_* 7x - 8

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x² + 14x - 8.

Det kan också vara så att båda olika termerna är negativa. Dess formel kommer att vara: (x - a) _* (x - b).

Exempel 3

(3b-6) _* (3b - 5) = (3b _* 3b) + (-6-5)_* (3b) + (-6 _* -5)

(3b-6) _* (3b - 5) = 9b² + (-11) _* (3b) + (30)

(3b-6) _* (3b - 5) = 9b² - 33b + 30.

Fyrkantig polynom

I det här fallet finns det mer än två termer och att utveckla det, varje är kvadrerat och läggs ihop med dubbelt multiplikationen av en term med en annan; dess formel är: (a + b + c)² och resultatet av operationen är en trinomial kvadrat.

Exempel 1

(3x + 2y + 4z)² = (3x)² + (2y)² + (4Z)² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)² = 9x² + 4y² + 16Z² + 12xy + 24xz + 16yz.

Binomial till kuben

Det är en anmärkningsvärd komplex produkt. För att utveckla den, multiplicera binomialen med dess kvadrat på följande sätt:

a. För binomialen till kuben av summan:

• Den första termens kub, plus trippeln av torget i första termen av den andra.
• Plus tredubbla första termen, för den andra kvadranten.
• Plus kuben på andra termen.

(a + b)³ = (a + b) _* (a + b)²

(a + b)³ = (a + b) _* (a² + 2ab + b²)

(a + b)³ = a³ + den 2: a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³

(a + b)³ = a³ + den 3: e²b + 3ab² + b³.

Exempel 1

(a + 3)³ = a³ + 3 (a)²_*(3) + 3 (a)_*(3)² + (3)³

(a + 3)³ = a³ + 3 (a)²_*(3) + 3 (a)_*(9) + 27

(a + 3)³ = a³ + 9 a² + 27a + 27.

b. För binomialen till kuben av en subtraktion:

• Den första termens kub minus trippeln av kvadraten av första termen av den andra.
• Plus tredubbla första termen, för den andra kvadranten.
• Mindre kuben av den andra termen.

(a - b)³ = (a - b) _* (a - b)²

(a - b)³ = (a - b) _* (a² - 2ab + b²)

(a - b)³ = a³ - den 2: a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³

(a - b)³ = till³ - den 3: e²b + 3ab² - b³.

Exempel 2

(b - 5)³ = b³ + 3 (b)²_*(-5) + 3 (b)_*(-5)² + (-5)³

(b - 5)³ = b³ + 3 (b)²_*(-5) + 3 (b)_*(25) -125

(b - 5)³ = b³ - 15b² +75b - 125.

Skopa av en trinomial

Den utvecklas genom att multiplicera den med sin fyrkant. Det är en anmärkningsvärd produkt väldigt omfattande eftersom det finns tre termer som höjdes till kuben, plus tre gånger varje term kvadrerat, multiplicerat med var och en av villkoren, plus sex gånger produkten av de tre termerna. Sett på ett bättre sätt:

(a + b + c)³ = (a + b + c) _* (a + b + c)²

(a + b + c)³ = (a + b + c) _* (a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)³ = A³ + b³ + c³ + den 3: e²b + 3ab² + den 3: e²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc.

Exempel 1

Lösta övningar av anmärkningsvärda produkter

Övning 1

Utveckla följande binomial till kuben: (4x - 6)³.

lösning

Minns att en binomial till kuben är lika med den första termen som höjdes till kuben, mindre trippeln av kvadraten av den första termen av den andra; plus den första termins trippel, med den andra kvadraten, minus kuben av den andra termen.

(4x - 6)³ = (4x)³ - 3 (4x)²(6) + 3 (4x) _* (6)² - (6)²

(4x - 6)³ = 64x³ - 3 (16x²) (6) + 3 (4x)_* (36) - 36

(4x - 6)³ = 64x³ - 288x² + 432x - 36.

Övning 2

Utveckla följande binomial: (x + 3) (x + 8).

lösning

Det finns en binomial där det finns en gemensam term, som är x och den andra termen är positiv. För att utveckla det måste du bara kvadrata den gemensamma termen plus summan av de termer som inte är vanliga (3 och 8) och multiplicera dem sedan med den gemensamma termen plus summan av multiplikationen av termer som inte är vanliga.

(x + 3) (x + 8) = x² + (3 + 8) x + (3_*8)

(x + 3) (x + 8) = x² + 11x + 24.

referenser

1. Angel, A. R. (2007). Elementaralgebra. Pearson Education,.
2. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
3. Das, S. (s.f.). Maths Plus 8. Förenade kungariket: Ratna Sagar.
4. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Elementär och intermediär algebra: En kombinerad strategi. Florida: Cengage Learning.
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.