Produktkorsegenskaper, applikationer och lösta övningar



den Korsprodukt eller produktvektor Det är ett sätt att multiplicera två eller flera vektorer. Det finns tre sätt att multiplicera vektorer, men ingen av dessa är en multiplikation i ordets vanliga bemärkelse. En av dessa former är känd som en vektorprodukt, vilket resulterar i en tredje vektor.

Vektorprodukten, som också kallas korsprodukt eller extern produkt, har olika algebraiska och geometriska egenskaper. Dessa egenskaper är mycket användbara, särskilt i studien av fysik.

index

  • 1 Definition
  • 2 egenskaper
    • 2.1 Fastighet 1
    • 2.2 Fastighet 2
    • 2.3 Fastighet 3
    • 2.4 Fastighet 4 (triple scalar produkt)
    • 2.5 Fastighet 5 (trippel vektorprodukt)
    • 2.6 Fastighet 6
    • 2.7 Fastighet 7
    • 2.8 Fastighet 8
  • 3 applikationer
    • 3.1 Volymberäkning av parallellpiped
  • 4 Övningar löst
    • 4.1 Övning 1
    • 4.2 Övning 2
  • 5 referenser

definition

En formell definition av vektorprodukten är följande: om A = (a1, a2, a3) och B = (b1, b2, b3) är vektorer, då vektorprodukten av A och B, som betecknar som AxB, är:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

På grund av notationen AxB, läser den som "A cross B".

Ett exempel på användning av den yttre produkten är om A = (1, 2, 3) och B = (3, -2, 4) är vektorer, sedan använda definitionen vektorprodukt är:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, 8).

Ett annat sätt att uttrycka vektorprodukten ges av determinanterna notationen.

Beräkningen av en andra ordningens determinant ges av:

Därför kan formeln av vektorprodukten som ges i definitionen omskrivas på följande sätt:

Detta förenklas vanligen i en tredje ordningens determinant enligt följande:

Där jag, j, k representerar de vektorer som ligger till grund för R3.

Med hjälp av detta sätt att uttrycka korsprodukten har vi att föregående exempel kan skrivas om som:

egenskaper

Vissa egenskaper som vektorprodukten har är följande:

Fastighet 1

Om A är någon vektor i R3, Vi måste:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Dessa egenskaper är lätta att kontrollera med endast definitionen. Om A = (a1, a2, a3) måste vi:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

X0 = (a2 * 0 - * 0 a3, a3 * 0 - * 0 a1, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Om jag, j, k representerar enhetsbasen för R3, Vi kan skriva dem enligt följande:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Då måste vi uppfylla följande egenskaper:

Som en mnemonicregel, för att komma ihåg dessa egenskaper används vanligtvis följande cirkel:

Där bör vi notera att en vektor med sig resulterar i vektor 0, och resten av produkterna kan erhållas med följande regel:

Korsprodukten av två konsekutiva vektorer i riktning medurs ger följande vektor; och när man överväger motursriktningen är resultatet följande vektor med ett negativt tecken.

Tack vare dessa egenskaper kan vi se att vektorprodukten inte är kommutativ; till exempel är det nog att märka att jag x j ≠ j x i. Följande egendom berättar hur AxB och BxA är relaterade i allmänhet.

Fastighet 2

Om A och B är R-vektorer3, Vi måste:

AxB = - (BxA).

show

Om A = (a1, a2, a3) och B = (b1, b2, b3), per definition av extern produkt har vi:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Vi kan också observera att denna produkt inte är associativ med följande exempel:

ix (ixj) = ixk = - j men (ixi) xj = 0xj = 0

Av detta kan vi observera att:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Fastighet 3

Om A, B, C är R-vektorer3 och r är ett reellt tal, är följande sant:

- Axel (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Tack vare dessa egenskaper kan vi beräkna vektorprodukten med algebralagen, förutsatt att ordern respekteras. Till exempel:

Om A = (1, 2, 3) och B = (3, -2, 4), kan vi skriva om dem baserat på den kanoniska grunden för R3.

Således är A = i + 2j + 3k och B = 3i - 2j + 4k. Sedan tillämpar du tidigare egenskaper:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, 8).

Fastighet 4 (triple scalar produkt)

Som vi nämnde i början finns det andra sätt att multiplicera vektorer förutom vektorprodukten. Ett av dessa sätt är den skalära produkten eller den interna produkten, som betecknas A ∙ B och vars definition är:

Om A = (a1, a2, a3) och B = (b1, b2, b3), då är B = A1B1 A ∙ + A2B2 + A3B3

Egenskapen som hänför sig till båda produkterna är känd som den trefaldiga skalärprodukten.

Om A, B och C är R-vektorer3, då A ∙ BxC = AxB ∙ C

Som ett exempel se att, givet A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) och C = (- 5, 1 - 4), varvid nämnda egenskap innehar.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A - BxC = (1, 1, 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Å andra sidan:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

En annan trippelprodukt är Axe (BxC), som är känd som triplevektorprodukt.

Fastighet 5 (trippel vektorprodukt)

Om A, B och C är R-vektorer3,  då:

Axel (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Som ett exempel se att, givet A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) och C = (- 5, 1 - 4), varvid nämnda egenskap innehar.

Från det föregående exemplet vet vi att BxC = (- 18, - 22, 17). Låt oss beräkna Axe (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Å andra sidan måste vi:

A - C = (1, 1, 2) ∙ (- 5, 1, 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A-B = (1, 1, 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Så måste vi:

(A, C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, 4) = (- 12, 16, 8) + - 12) = (- 27,19, -4)

Fastighet 6

Det är en av geometriska egenskaper hos vektorer. Om A och B är två vektorer i R3 och Θ är den vinkel som bildas mellan dessa, då:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), var || ∙ || betecknar modulen eller storleken på en vektor.

Den geometriska tolkningen av denna fastighet är följande:

Låt A = PR och B = PQ. Därefter är vinkeln som bildas av vektorerna A och B vinkeln P för triangeln RQP, såsom visas i följande figur.

Därför är området för parallellogrammet med angränsande sidor PR och PQ | | A |||| B || sin (Θ), eftersom vi kan utgå ifrån || A || och dess höjd anges av || B || sin (Θ).

På grund av detta kan vi konstatera att || AxB || är området för nämnda parallellogram.

exempel

Med tanke på följande punkter i en fyrsidig P (1, -2,3) visar Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) och S (5,7, -3) att nämnda fyrsidiga är ett parallellogram och hitta dess område.

För detta bestämmer vi först de vektorer som bestämmer riktningen av sidorna på fyrsidan. Detta är:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, -1 - 3) = (3, 5, 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1-3) = (1,4, -2)

C = RS = (5-2, 7-2, -3-1) = (3,5, 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1,4, -2)

Som vi kan observera A och C har samma vektorregissör, ​​som vi har att båda är parallella; på samma sätt som det händer med B och D. Därför drar vi slutsatsen att PQRS är ett parallellogram.

För att få området för nämnda parallellogram beräknar vi BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Därför kommer den kvadrerade ytan att vara:

|| BxA ||2 = (- 6)2 + (- 2)2 + (- 7)2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Man kan dra slutsatsen att parallellogramområdet kommer att vara kvadratroten på 89.

Fastighet 7

Två vektorer A och B är parallella i R3 ja och bara om AxB = 0

show

Det är uppenbart att om A eller B är nollvektorn följer det att AxB = 0. Eftersom nollvektorn är parallell med någon annan vektor är egenskapen giltig.

Om ingen av de två vektorerna är nollvektorn, har vi att deras magnituder skiljer sig från noll; det vill säga båda || A || ≠ 0 som || B || ≠ 0, så måste vi | | AxB || = 0 om och endast om synd (Θ) = 0, och detta händer om och endast om Θ = π eller Θ = 0.

Därför kan vi sluta AxB = 0 om och endast om Θ = π eller Θ = 0, vilket bara händer när båda vektorerna är parallella med varandra.

Fastighet 8

Om A och B är två vektorer i R3, då är AxB vinkelrätt mot både A och B.

show

För denna demonstration, kom ihåg att två vektorer är vinkelräta om A ∙ B är lika med noll. Dessutom vet vi att:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, men AxA är lika med 0. Därför måste vi:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Genom detta kan vi dra slutsatsen att A och AxB är vinkelräta mot varandra. På ett analogt sätt måste vi:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Som BxB = 0 måste vi:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Därför är AxB och B vinkelräta mot varandra och med detta demonstreras egenskapen. Detta är mycket användbart, eftersom de tillåter oss att bestämma ekvationen för ett plan.

Exempel 1

Hämta en ekvation av planet som passerar genom punkterna P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) och R (2, 1, 3).

Låt A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3-2) och B = PR = (2-1,1-3,3-2). Då A = - i + 3j + k och B = i - 2j + k. För att hitta planet som bildas av dessa tre punkter är det tillräckligt att hitta en vektor som är normal mot planet, vilket är AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Med denna vektor och med punkten P (1, 3, 2) kan vi bestämma planetens ekvation enligt följande:

(5, 2, - en) ∙ (x - 1 och - 3 z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Så vi har att ekvationen för planet är 5x + 2y - z - 9 = 0.

Exempel 2

Hitta ekvationen för planet som innehåller punkten P (4, 0, - 2) och som är vinkelrätt mot vart och ett av planerna x - y + z = 0 och 2x + y - 4z - 5 = 0 .

Att veta att en normal vektor till ett plan ax + med + cz + d = 0 är (a, b, c), vi har det (1, -1,1) är en normal vektor av x - y + z = 0 y 2.1, - 4) är en normal vektor av 2x + y - 4z - 5 = O.

Därför måste en normal vektor till det önskade planet vara vinkelrätt mot (1, -1,1) och a (2, 1, 4). Den nämnda vektorn är:

(1, -1,1) x (2,1, 4) = 3i + 6j + 3k.

Då har vi att det sökta planet är det som innehåller punkten P (4,0, -2) och har vektorn (3,6,3) som en normal vektor.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

tillämpningar

Beräkning av volymen av en parallellpiped

En applikation som har den trefaldiga skalärprodukten är att kunna beräkna volymen för en parallellpipad vars kanter ges av vektorerna A, B och C, som visas i figuren:

Vi kan härleda denna applikation på följande sätt: vektorn AxB är en vektor som är normal mot planet A och B. Vi har också att vektorn - (AxB) är en annan vektor som är normal för planet.

Vi väljer den normala vektorn som bildar minsta vinkel med vektorn C; utan förlust av generality, låt AxB vara vektorn vars vinkel med C är den minsta.

Vi har att både AxB och C har samma utgångspunkt. Dessutom vet vi att området för parallellogrammet som utgör basen av parallellpiped är || AxB ||. Därför, om höjden på parallellpiped ges av h, har vi att dess volym kommer att vara:

V = || AxB || h.

Å andra sidan, överväga den skalära produkten mellan AxB och C, vilken kan beskrivas enligt följande:

Men med trigonometriska egenskaper har vi det h = || C || cos (Θ), så vi måste:

På så sätt måste vi:

Generellt sett har vi att volymen av en parallellpipad ges av det absoluta värdet av den tredubbla skalärprodukten AxB ∙ C.

Lösta övningar

Övning 1

Med tanke på punkterna P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) och S = (2, 6, 9) bildar dessa punkter en parallellpipad vars kanter de är PQ, PR och PS. Bestäm volymen av nämnda parallellpiped.

lösning

Om vi ​​tar:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3,2,2)

Med hjälp av egenskapen hos den tredubbla skalärprodukten måste vi:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Därför har vi att volymen av nämnda parallellpiped är 52.

Övning 2

Bestäm volymen för en parallellpipad vars kanter ges av A = PQ, B = PR och C = PS, där punkterna P, Q, R och S är (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) respektive (2, 2, 5).

lösning

Först har vi det A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Vi beräknar AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Då beräknar vi AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Således sluts vi att volymen av nämnda parallellpiped är 1 kubisk enhet.

referenser

  1. Leithold, L. (1992). BERÄKNINGEN med analytisk geometri. HARLA, S.A.
  2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fysik Vol. 1. Mexiko: Kontinental.
  3. Saenz, J. (s.f.). Vektorberäkning 1ed. hypotenusan.
  4. Spiegel, M.R. (2011). Vektoranalys 2ed. Mc Graw Hill.
  5. Zill, D. G., & Wright, W. (2011). Beräkning av olika variabler 4ed. Mc Graw Hill.