Parallelepipade egenskaper, typer, areal, volym

en parallellepiped är en geometrisk kropp som bildas av sex ansikten, vars främsta kännetecken är att alla deras ansikten är parallellogram och även deras motsatta ansikten är parallella med varandra. Det är en vanlig polyeder i vårt dagliga liv, eftersom vi kan hitta den i skonlådor, formen av en tegel, formen av en mikrovågsugn, etc..

Som en polyhedral omsluter parallellpiped en ändlig volym och alla dess ytor är plana. Det är en del av gruppen av prismer, vilka är de polyeder där alla deras hörn finns i två parallella plan.

index

• 1 Elements of the Parallelepiped
  • 1.1 Ansikten
  • 1,2 kanter
  • 1.3 Vertex
  • 1,4 Diagonal
  • 1,5 centrum
• 2 Egenskaper hos parallellpiped
• 3 typer
  • 3.1 Beräkning av diagonaler
• 4 område
  • 4.1 Område av en ortofeder
  • 4.2 En kubs yta
  • 4.3 Område av en rhombohedron
  • 4.4 Område av en rhombic
• 5 Volym av en parallellpipad
  • 5.1 Perfekt parallellpiped
• 6 Bibliografi

Elements of the parallelepiped

Caras

De är alla regioner som bildas av parallellogram som begränsar parallellpiped. En parallellpiped har sex ansikten, där varje ansikte har fyra angränsande ansikten och en motsats. Dessutom är varje sida parallell med motsatsen.

Aristas

De är den gemensamma sidan av två ansikten. Totalt har en parallellpiped tolv kanter.

vertex

Det är gemensamma för tre ansikten som ligger intill varandra två till två. En parallellpiped har åtta toppunkter.

diagonal

Med tanke på två motsatta sidor av en parallellpiped kan vi rita ett linjesegment som går från toppunktet från ett ansikte till motsatsens vertex.

Detta segment kallas parallellpipedens diagonal. Varje parallellpiped har fyra diagonaler.

centrum

Det är den punkt där alla diagonalerna skär.

Egenskaper hos parallellpiped

Som vi nämnde har denna geometriska kropp tolv kanter, sex ansikten och åtta toppunkter.

I en parallellpipad kan du identifiera tre uppsättningar som bildas av fyra kanter, vilka är parallella med varandra. Dessutom uppfyller kanterna av dessa uppsättningar egenskapen att ha samma längd.

En annan egenskap är besatt av parallellepipeder som är konvexa, dvs om vi tar ett par punkter som hör till någon inne i kuben som bestäms av nämnda par av segmentpunkter kommer också att vara i parallellepipeden.

Dessutom överensstämmer parallellpipedema med konvex polyhedra med Eulers teorem för polyeder, vilket ger oss ett förhållande mellan antalet ansikten, antalet kanter och antalet vertikaler. Detta förhållande ges i form av följande ekvation:

C + V = A + 2

Denna egenskap är känd som Eulers karaktäristik.

Där C är antalet ansikten, V antalet vertikaler och A antalet kanter.

Typ

Vi kan klassificera parallella pipetter baserat på deras ansikten, i följande typer:

cuboid

De är parallellpipederna där deras ansikten är formade av sex rektanglar. Varje rektangel är vinkelrät mot de som den delar kanten. De är de vanligaste i vårt dagliga liv som detta är det vanliga sättet att skoslåda och tegelstenar.

Kub eller vanlig hexahedron

Detta är ett speciellt fall av den föregående, där var och en av ansikten är en fyrkant.

Kuben är också en del av de geometriska kropparna som kallas platoniska fasta ämnen. Ett platoniskt fastämne är en konvex polyhedron, så att båda dess ytor och dess inre vinklar är lika med varandra.

romboedro

Det är en parallellpiped med diamanter i ansiktet. Dessa diamanter är alla lika med varandra, eftersom de delar kanter.

Romboiedro

Dess sex ansikten är rhomboids. Minns att en rhomboid är en polygon med fyra sidor och fyra vinklar som är lika två till två. Rhomboiderna är parallellogrammen som varken är kvadratiska eller rektanglar eller rhombuses.

Å andra sidan är de sneda parallellpipedema de där åtminstone en höjd inte överensstämmer med dess kant. I denna klassificering kan vi inkludera rhombohedronerna och rhombichedronerna.

Diagonal beräkning

För att beräkna diagonalen hos en orthohedron kan vi använda Pythagorean Theorem for R³.

Minns att en orthohedron har egenskapen att varje sida är vinkelrätt mot sidorna som delar kanten. Av detta faktum kan vi härleda att varje kant är vinkelrät mot de som delar vertex.

För att beräkna längden på en diagonal av en orthohedron fortsätter vi enligt följande:

1. Vi beräknar diagonalen på en av ansikten, som vi kommer att lägga som en bas. För detta använder vi Pythagoras teorem. Namn den här diagonalen d_b.

2. Då med d_b vi kan bilda en ny rätt triangel, så att hypotenusen av triangeln är den diagonala D som sökes.

3. Vi använder igen den pythagoranska stolen och vi har att längden på diagonalen är:

Ett annat sätt att beräkna diagonaler på ett mer grafiskt sätt är med summan av fria vektorer.

Minns att två fria vektorer A och B tillsätts genom att placera svansen av vektor B med spetsen av vektor A.

Vektorn (A + B) är den som börjar vid svansen av A och slutar vid spetsen av B.

Tänk på en parallellpiped som vi vill beräkna en diagonal på.

Vi identifierar kanter med bekvämt orienterade vektorer.

Sedan lägger vi till dessa vektorer och den resulterande vektorn kommer att vara diagonalen för parallellpiped.

område

Området av en parallellpiped ges av summan av varje av deras ytor.

Om vi ​​bestämmer en av sidorna som basen,

EN_L + 2A_B = Totalt område

Var A_L är lika med summan av områdena av alla sidor intill basen, som kallas sidodel och A_B är basområdet.

Beroende på vilken typ av parallellpiped som vi arbetar med kan vi skriva om formuläret.

Område av en orthohedron

Den ges av formeln

A = 2 (ab + bc + ca).

Exempel 1

Med följande orthohedron, med sidor a = 6 cm, b = 8 cm och c = 10 cm, beräkna området för parallellpiped och längden på dess diagonala.

Med hjälp av formeln för en orthoederas område måste vi

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Observera att eftersom det är en ortoeder, är längden på någon av dess fyra diagonaler densamma.

Med hjälp av Pythagoras teorem för rymden måste vi

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Område av en kub

Eftersom varje kant har samma längd har vi a = b och a = c. Att ersätta i föregående formel har vi

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Exempel 2

Lådan i en spelkonsol har formen av en kub. Om vi ​​vill sätta ihop denna låda med presentpapper, hur mycket papper skulle vi spendera med att veta att kubens kanter är 45 cm?

Med hjälp av formeln för kubområdet får vi det

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm²= 12150 cm²

Område av en rhombohedron

Eftersom alla sina ansikten är lika, räcker det att beräkna området för en av dem och multiplicera den med sex.

Vi kan beräkna området av en diamant med dess diagonaler med följande formel

EN_R = (Dd) / 2

Med hjälp av denna formel följer att den totala arean av rhombohedronen är

EN_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Exempel 3

Ansikten av följande rombohedron bildas av en rhombus vars diagonaler är D = 7 cm och d = 4 cm. Ditt område kommer att vara

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Område av en rhombic

För att beräkna området för en rhombic måste vi beräkna det område av rhomboiderna som komponerar det. Eftersom parallellpipeder överensstämmer med egenskapen att motsatta sidor har samma yta, kan vi associera sidorna i tre par.

På så vis har vi att ditt område kommer att bli

EN_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Där b_jag är baserna förknippade med sidorna och_jag dess relativa höjd motsvarar nämnda baser.

Exempel 4

Tänk på följande parallellpiped,

där sidan A och sidan A '(dess motsatta sida) har som bas b = 10 och för höjden h = 6. Det markerade området kommer att ha ett värde av

EN₁ = 2 (10) (6) = 120

B och B 'har b = 4 och h = 6 då

EN₂ = 2 (4) (6) = 48

Och C och C 'har b = 10 och h = 5, så

EN₃ = 2 (10) (5) = 100

Slutligen är rhombohedronens område

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volymen av en parallellpiped

Formeln som ger oss volymen av en parallellpipad är produkten av området av en av dess ansikten med den höjd som motsvarar nämnda ansikte.

V = A_Ch_C

Beroende på typen av parallellpiped kan nämnda formel förenklas.

Så vi har till exempel att volymen av en ortofeder skulle ges av

V = abc.

Där a, b och c representerar längden på ortofederkanterna.

Och i det speciella fallet av kuben är

V = a³

Exempel 1

Det finns tre olika modeller för lådor med kakor och du vill veta i vilken av dessa modeller du kan lagra fler kakor, det vill säga vilken av lådorna har den högsta volymen.

Den första är en kub vars kant har en längd av a = 10 cm

Volymen blir V = 1000 cm³

Den andra har kanter b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Och därför är dess volym V = 765 cm³

Och den tredje har e = 9 cm, f = 9 cm och g = 13 cm

Och dess volym är V = 1053 cm³

Därför är rutan med den största volymen den tredje.

En annan metod för att erhålla en parallellpipedvolym är att tillgripa vektoralgebra. I synnerhet den tredubbla skalärprodukten.

En av de geometriska tolkningarna som har den tredubbla skalärprodukten är volymen av parallellpiped, vars kanter är tre vektorer som delar samma vertex som utgångspunkt.

På så sätt om vi har en parallellpiped och vi vill veta vad dess volym är, räcker det att representera det i ett koordinatsystem i R³ som matchar en av dess vertices med ursprunget.

Då representerar vi kanterna som överensstämmer med ursprunget med vektorer som visas i figuren.

Och så har vi att volymen av nämnda parallellpiped ges av

V = | AxB ∙ C |

Eller likvärdigt är volymen determinanten av 3x3-matrisen, som bildas av komponenterna i kantvektorerna.

Exempel 2

Genom att representera nästa parallellpiped i R³ vi kan se att vektorerna som bestämmer det är följande

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) och w = (-0,25, -4, 4)

Med den tredubbla skalärprodukten vi har

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Av detta sluts vi att V = 60

Överväg nu följande parallellpiped i R3, vars kanter bestäms av vektorerna

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) och C = (3,4,4)

Att använda determinanter ger oss det

Så vi har att volymen av nämnda parallellpiped är 112.

Båda är likvärdiga sätt att beräkna volymen.

Perfekt parallellpiped

Det är känt som Eulers tegelsten (eller Eulers block) till en orthohedron som uppfyller egenskapen att både längden på dess kanter och längden på diagonalerna hos var och en av dess ansikten är heltal.

Medan Euler inte var den första forskaren som studerade orthoederronsna som träffade den här egenskapen, fann han intressanta resultat om dem.

Den mindre Euler tegelstenen upptäcktes av Paul Halcke och längden på dess kanter är a = 44, b = 117 och c = 240.

Ett öppet problem i talteori är som följer

Finns det perfekta orthoederrons?

För närvarande kan denna fråga inte besvaras, eftersom det inte har varit möjligt att bevisa att dessa kroppar inte existerar, men det har inte hittats någon.

Det som hittills visats är att perfekta parallellpiped existerar. Den första som upptäckes har längden på dess kanter värdena 103, 106 och 271.

bibliografi

1. Guy, R. (1981). Oupplösta problem i talteori. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometria. framsteg.
3. Leithold, L. (1992). BERÄKNINGEN med analytisk geometri. HARLA, S.A.
4. Rendon, A. (2004). Teknisk ritning: Arbetsbok 3: a Baccalaureat . Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fysik Vol. 1. Mexiko: Kontinental.