Minsta kvadratmetod, lösta övningar och vad det tjänar



Metoden för minsta kvadrater är en av de viktigaste applikationerna i tillnärmning av funktioner. Tanken är att hitta en kurva så att denna funktion, med tanke på en uppsättning beställda par, approximerar denna data bättre. Funktionen kan vara en linje, en kvadratisk kurva, en kubisk kurva etc..

Tanken med metoden är att minimera summan av kvadraterna för skillnaderna i ordinaten (komponent Y), mellan punkterna som genereras av den valda funktionen och punkterna som hör till datasatsen.

index

  • 1 minst kvadreringsmetod
  • 2 övningar löst
    • 2.1 Övning 1
    • 2.2 Övning 2
  • 3 Vad är det för??
  • 4 referenser

Minsta kvadreringsmetod

Innan vi ger metoden måste vi först vara tydliga på vad "bättre tillvägagångssätt" betyder. Låt oss anta att vi letar efter en rad y = b + mx som bäst representerar en uppsättning n-punkter, nämligen (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn).

Såsom visas i den föregående figuren, om variablerna x och y var relaterade till linjen y = b + mx, då skulle motsvarande värde för y för x = x1 vara b + mx1. Men detta värde skiljer sig från det sanna värdet på y, vilket är y = y1.

Minns att i planet är avståndet mellan två punkter givet med följande formel:

Med detta i åtanke, för att bestämma hur man väljer linjen y = b + mx som bäst approximerar den givna data är det vettigt att använda valet av linjen som minimerar summan av kvadraterna av avstånden mellan punkterna som kriterier och den raka.

Eftersom avståndet mellan punkterna (x1, y1) och (x1, b + mx1) är y1- (b + mx1) reduceras vårt problem för att hitta siffrorna m och b så att följande summa är minimal:

Linjen som uppfyller detta villkor kallas "approximationen av minsta rutor linje till punkterna (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

När problemet är löst, måste vi bara välja en metod för att hitta minsta kvadraterna approximation. Om punkterna (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) är alla på linjen y = mx + b, måste vi vara kollinära och:

I detta uttryck:

Slutligen, om punkterna inte är kollinära, då kan y-Au = 0 och problemet översättas till att hitta en vektor eller sådan att euklidiska normen är minimal.

Att hitta den minimerande vektorn är inte så svår som du kanske tror. Eftersom A är en matris nx2 och du är en 2 × 1 matris, har vi att vektorn Au är en vektor i Rn och det hör till bilden av A, som är ett underrum av Rn med en dimension som inte är större än två.

Vi antar att n = 3 visar vilken procedur som ska följas. Om n = 3 kommer bilden av A att vara ett plan eller en linje som passerar genom ursprunget.

Låt v vara minimeringsvektorn. I figuren observerar vi att y-Au minimeras när det är ortogonalt för bilden av A. Det vill säga, om v är minimeringsvektorn, så händer det att:

Då kan vi uttrycka ovanstående på detta sätt:

Detta kan bara hända om:

Slutligen, rensa v måste vi:

Det är möjligt att göra detta sedan AtA är invertibel så länge som n-poängen som ges som data inte är kollinära.

Om vi ​​istället vill leta efter en rad vill vi hitta en parabola (vars uttryck skulle vara av formen y = a + bx + cx2) som var en bättre approximation till n-datapunkterna, skulle proceduren vara som beskrivs nedan.

Om n-datapunkterna fanns i nämnda parabol skulle det vara nödvändigt att

då:

På ett liknande sätt kan vi skriva y = Au. Om alla punkter inte finns i parabolen, har vi att y-Au skiljer sig från noll för någon vektor du och vårt problem är igen: hitta en vektor u i R3 så att dess norm || y-Au || vara så liten som möjligt.

Genom att upprepa det tidigare förfarandet kan vi komma fram till vektorn som letas efter:

Lösta övningar

Övning 1

Hitta den linje som bäst passar punkterna (1,4), (-2,5), (3, -1) och (4,1).

lösning

Vi måste:

då:

Därför drar vi slutsatsen att den linje som bäst passar poängen ges av:

Övning 2

Antag att ett föremål tappas från en höjd av 200 m. Under tiden faller följande åtgärder:

Vi vet att höjden på objektet, efter att ha passerat en tid t, ges av:

Om vi ​​önskar erhålla värdet av g, kan vi hitta en parabola som är en bättre approximation till de fem punkterna i tabellen och således skulle vi ha koefficienten som följer med t2 det kommer att vara en rimlig approximation till (-1/2) g om mätningarna är korrekta.

Vi måste:

Och då:

Så anpassas datapunkterna med följande kvadratiska uttryck:

Då måste du:

Detta är ett värde som är rimligt nära det rätta, vilket är g = 9,81 m / s2. För att få en mer exakt approximering av g skulle det vara nödvändigt att starta från mer exakta observationer.

Vad är det för??

I de problem som uppstår i natur- eller samhällsvetenskapen är det lämpligt att skriva de relationer som uppstår mellan olika variabler med hjälp av vissa matematiska uttryck.

Till exempel kan vi relatera kostnad (C), inkomst (I) och vinst (U) i ekonomi med hjälp av en enkel formel:

I fysiken kan vi relatera accelerationen som orsakas av gravitationen, tiden då ett föremål har fallit och objektets höjd enligt lag:

I föregående uttryck seller är den ursprungliga höjden för det objektet och veller är din första hastighet.

Att hitta formuleringar som dessa är dock inte en enkel uppgift. vanligtvis är det upp till den professionella som är skyldig att arbeta med många data och upprepade gånger utföra flera experiment (för att verifiera att de erhållna resultaten är konstanta) för att hitta relationer mellan olika data.

Ett gemensamt sätt att uppnå detta är att representera data som erhållits i ett plan som punkter och leta efter en kontinuerlig funktion som optimerar dessa punkter optimalt.

Ett av sätten att hitta den funktion som "bäst approximerar" den givna data är med minsta kvadratmetoden.

Dessutom, som vi såg också i övningen, tack vare denna metod kan vi få approximationer ganska nära fysiska konstanter.

referenser

  1. Charles W Curtis linjär algebra. Springer-Velarg
  2. Kai Lai Chung Elementär förmågasteori med stokastiska processer. Springer-Verlag New York Inc
  3. Richar L Burden & J.Douglas Faires. Numerisk analys (7ed). Thompson Learning.
  4. Stanley I. Grossman. Tillämpningar av linjär algebra. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
  5. Stanley I. Grossman. Linjär algebra MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO