Fördelningar av diskreta sannolikhetsegenskaper och övningar



den Diskreta sannolikhetsfördelningar är en funktion som tilldelar varje element i X (S) = x1, x2, ..., xi, ..., där X är en given diskret slumpmässig variabel och S är dess provutrymme, sannolikheten för att händelsen kommer att inträffa. Denna funktion f i X (S) definierad som f (xi) = P (X = xi) kallas ibland sannolikhetsmassfunktionen.

Denna massa av sannolikheter är vanligtvis representerad som ett bord. Eftersom X är en diskret slumpmässig variabel har X (S) ett begränsat antal händelser eller en räknbar oändlighet. Bland de vanligaste diskreta sannolikhetsfördelningarna har vi enhetlig fördelning, binomialfördelning och Poisson-fördelning.

index

  • 1 Egenskaper
  • 2 typer
    • 2.1 Enhetlig fördelning över n poäng
    • 2.2 Binomialfördelning
    • 2.3 Poissonfördelning
    • 2.4 Hypergeometrisk fördelning
  • 3 Övningar löst
    • 3.1 Första övningen
    • 3.2 Andra övningen
    • 3.3 Tredje övning
    • 3.4 Tredje övning
  • 4 referenser

särdrag

Sannolikhetsfördelningsfunktionen måste uppfylla följande villkor:

Om X bara tar ett begränsat antal värden (till exempel x1, x2, ..., xn), då p (xi) = 0 om jag> ny blir därför den oändliga serien av tillstånd b en ändlig serie.

Denna funktion uppfyller också följande egenskaper:

Låt B vara en händelse i samband med slumpmässig variabel X. Det betyder att B finns i X (S). Antag specifikt att B = xi1, xi2, .... därför:

Med andra ord: sannolikheten för en händelse B är lika med summan av sannolikheten för de enskilda resultaten associerade med B.

Av detta kan vi dra slutsatsen att om a < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

Typ

Enhetlig fördelning över n poäng

Det sägs att en slumpmässig variabel X följer en fördelning som kännetecknas av att den är enhetlig i n-punkter om varje värde har samma sannolikhet. Dess sannolikhetsmassfunktion är:

Antag att vi har ett experiment som har två möjliga resultat, det kan vara ett kast på ett mynt vars möjliga resultat är ansikte eller frimärke eller valet av ett helt tal vars resultat kan vara ett jämnt tal eller ett udda tal. Denna typ av experiment är känt som Bernoullis test.

I allmänhet kallas de två möjliga resultaten framgång och misslyckande, där p är sannolikheten för framgång och 1-p för misslyckande. Vi kan bestämma sannolikheten för x-framgångar i n Bernoulli-tester som är oberoende av varandra med följande fördelning.

Binomialfördelning

Det är den funktionen som representerar sannolikheten för att erhålla x-framgångar i n oberoende Bernoulli-test, vars sannolikhet för framgång är p. Dess sannolikhetsmassfunktion är:

Följande diagram representerar funktionsmassan för sannolikheten för olika värden av parametrarna för binomialfördelningen.

Nästa fördelning är uppkallad efter den franska matematiker Simeon Poisson (1781-1840), vilket erhållits som gränsen för den binomialfördelning.

Poisson distribution

Det sägs att en slumpvariabel X har Poisson distribution av parameter λ när du kan ta positivt heltal värden 0,1,2,3, ... med följande sannolikhet:

I detta uttryck är λ det genomsnittliga antalet som motsvarar händelsernas händelser för varje tidsenhet och x är antalet gånger händelsen inträffar.

Dess sannolikhetsmassfunktion är:

Därefter en graf som representerar sannolikhetsmassan för olika värden av parametrarna i Poisson-fördelningen.

Observera att så länge antalet framgångar är låga och antalet n av tester som utförs i en binomialfördelning är hög, kan vi alltid approximera dessa fördelningar, eftersom Poisson-fördelningen är gränsen för binomialfördelningen..

Huvudskillnaden mellan dessa två fördelningar är att medan binomialen beror på två parametrar, nämligen n och p, är Poisson bara beroende av λ, vilket ibland kallas distributionens intensitet.

Hittills har vi bara talat om sannolikhetsfördelningar för fall där de olika experimenten är oberoende av varandra. det vill säga när resultatet av en inte påverkas av något annat resultat.

När det gäller att ha experiment som inte är oberoende inträffar är den hypergeometriska fördelningen mycket användbar.

Hypergeometrisk fördelning

Låt N vara det totala antalet föremål av en ändlig mängd, av vilka vi kan identifiera dessa k något sätt sålunda bilda en delmängd K, vars komplement är bildad av de återstående N-k element.

Om vi ​​väljer slump n objekt, den stokastiska variabeln X representerar antalet föremål som hör till K i valet har en hypergeometrisk parameterfördelning N, n och k. Dess sannolikhetsmassfunktion är:

Följande diagram representerar sannolikhetsfunktionsmassan för olika värden av parametrarna för den hypergeometriska fördelningen.

Lösta övningar

Första träningen

Antag att sannolikheten för att ett radioband (satt i en viss typ av utrustning) fungerar i mer än 500 timmar är 0,2. Om 20 rör testas, vad är sannolikheten för att exakt k av dessa kommer att fungera mer än 500 timmar, k = 0, 1,2, ..., 20?

lösning

Om X är antalet rör som arbetar mer än 500 timmar, antar vi att X har en binomialfördelning. sedan

Och så:

För k≥11 är sannolikheterna mindre än 0,001

Så vi kan se hur sannolikheten att k av dessa arbetar mer än 500 timmar stiger tills den når sitt högsta värde (med k = 4) och sedan börjar minska.

Andra övningen

Ett mynt kastas 6 gånger. När resultatet är dyrt kommer vi att säga att det är en framgång. Vad är sannolikheten för att två ansikten kommer ut exakt?

lösning

För detta fall har vi det n = 6 och båda sannolikheten för framgång och fel är p = q = 1/2

Därför är sannolikheten för att två ansikten ges (dvs k = 2) av

Tredje övningen

Vad är sannolikheten för att hitta minst fyra ansikten?

lösning

För detta fall har vi det k = 4, 5 eller 6

Tredje övningen

Låt oss anta att 2% av de artiklar som produceras i en fabrik är defekta. Sök sannolikheten P att det finns tre defekta objekt i ett urval av 100 poster.

lösning

För detta fall kan vi tillämpa binomialfördelningen för n = 100 och p = 0,02, vilket resulterar i:

Eftersom p är liten använder vi dock Poisson approximationen med λ = np = 2. så,

referenser

  1. Kai Lai Chung Elementär förmågasteori med stokastiska processer. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen. Diskret matematik och dess tillämpningar. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Sannolikhet och statistiska tillämpningar. Inc. MEXICAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Diskret matematik Lös problem. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori och probabilities of probability. McGraw-Hill.