Efterföljande derivat (med lösta övningar)

den successiva derivat är derivaten av en funktion efter det andra derivatet. Processen att beräkna de successiva derivaten är följande: vi har en funktion f som vi kan härleda och därigenom erhålla derivatfunktionen f '. Till detta derivat av f kan vi härleda det igen, erhålla (f ')'.

Denna nya funktion kallas andra derivat; alla derivat beräknade från det andra är successiva; Dessa, även kallade högre ordning, har bra tillämpningar, som att ge information om diagrammet för en funktionsgraf, det andra derivatprovet för relativa extremiteter och bestämningen av oändliga serier.

index

• 1 Definition
  • 1.1 Exempel 1
  • 1,2 Exempel 2
• 2 Hastighet och acceleration
  • 2.1 Exempel 1
  • 2.2 Exempel 2
• 3 applikationer
  • 3.1 Mplifierad derivat
  • 3.2 Exempel
  • 3,3 Relativa ändar
  • 3,4 Exempel
  • 3,5 Taylor-serien
  • 3,6 Exempel
• 4 referenser

definition

Med hjälp av Leibniz notation, har vi derivatan av en funktion "och" med avseende på "x" är dy / dx. För att uttrycka det andra derivatet av "och" med Leibniz-notationen skriver vi följande:

I allmänhet kan vi uttrycka successiva derivat enligt följande med Leibniz-notationen, där n representerar ordningen för derivatet.

Andra noteringar som används är följande:

Några exempel där vi kan se de olika notationerna är:

Exempel 1

Hämta alla derivaten av funktionen f definierad av:

Med hjälp av de vanliga härledande teknikerna har vi att derivatet av f är:

Genom att upprepa processen kan vi få det andra derivatet, det tredje derivatet och så vidare.

Observera att fjärde derivatet är noll och derivatet av noll är noll, så vi måste:

Exempel 2

Beräkna det fjärde derivatet av följande funktion:

Avleda den givna funktionen har vi som resultat:

Hastighet och acceleration

En av de motiv som ledde till upptäckten av derivatet var sökandet efter definitionen av momentan hastighet. Den formella definitionen är följande:

Låt y = f (t) vara en funktion vars graf beskriver en partikelns bana i ett ögonblick t, då dess hastighet i ett ögonblick t ges av:

När vi har erhållit hastigheten hos en partikel, kan vi beräkna momentan acceleration, som definieras enligt följande:

Den momentana accelereringen av en partikel vars väg ges av y = f (t) är:

Exempel 1

En partikel rör sig på en linje enligt positionsfunktionen:

Där "y" mäts i meter och "t" på sekunder.

- Vid vilken tidpunkt är din hastighet 0?

- Vid vilken tidpunkt är din acceleration 0?

Vid avläsning av positionsfunktionen "och" har vi att dess hastighet och acceleration ges respektive av:

För att kunna svara på den första frågan är det tillräckligt att bestämma när funktionen v blir noll; detta är:

Vi fortsätter med följande fråga på ett analogt sätt:

Exempel 2

En partikel rör sig på en linje enligt följande ekvation:

Bestäm "t, y" och "v" när a = 0.

Att veta att fart och acceleration ges av

Vi fortsätter att härleda och erhålla:

Genom att göra a = 0 har vi:

Från vilket vi kan härleda att värdet på t för a att vara lika med noll är t = 1.

Då, utvärdering av positionsfunktionen och hastighetsfunktionen vid t = 1, måste vi:

tillämpningar

Mplifierad derivat

Efterföljande derivat kan också erhållas genom implicit derivat.

exempel

Med tanke på följande ellipse, hitta "och":

Avleda implicit med hänsyn till x har vi:

Då, genom att härleda implicit med hänsyn till x, ger den oss:

Slutligen har vi:

Relativa ändamål

En annan användning som vi kan ge till derivat av andra ordning är i beräkningen av relativa ändar av en funktion.

Derivatet testet för lokala extrem säger oss att om vi har en kontinuerlig funktion f i ett intervall (a, b) och c-det är en som tillhör nämnda område som upphäver f'se c (dvs. att c är en kritisk punkt), kan en av dessa tre fall uppstå:

- Om f '(x)> 0 för någon x som hör till (a, c) och f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Om f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 för x som hör till (c, b), då f (c) är ett lokalt minimum.

- Om f '(x) är lika tecken i (a, c) och (c, b), innebär att f (c) är inte en lokal extremum.

Med hjälp av andraderivatan testet kan berätta om ett kritiskt antal funktion är ett maximum eller ett lokalt minimum, utan att behöva se vad tecken på funktionen i intervallen ovan.

Kriteriet av den andra drift säger oss att om f '(c) = 0 och f "(x) är kontinuerlig i (a, b), inträffar om f" (c)> 0 så är f (c) är en lokalt minimum och om f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Om f "(c) = 0, kan vi inte avsluta något.

exempel

Med funktionen f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², hitta de relativa maxima och minima för f som tillämpar kriteriet för det andra derivatet.

Först beräknar vi f '(x) och f "(x) och vi har:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Nu, f '(x) = 0 om och endast om 4x (x + 2) (x - 1) = 0, och detta sker när x = 0, x = 1 eller x = - 2.

För att bestämma om de kritiska tal som erhållits är relativa ekstremer är det tillräckligt att utvärdera i f "och sålunda observera dess tecken.

f "(0) = - 8, så f (0) är ett lokalt maximum.

f "(1) = 12, så f (1) är ett lokalt minimum.

f "(- 2) = 24, så f (- 2) är ett lokalt minimum.

Taylor-serien

Låt f vara en funktion som definieras enligt följande:

Denna funktion har en konvergensradie R> 0 och har derivat av alla order i (-R, R). De successiva derivaten av f ger oss:

Med x = 0 kan vi få värdena på c_n baserat på dess derivat enligt följande:

Om vi ​​tar n = 0 som funktionen f (det vill säga f ^ 0 = f), kan vi skriva om funktionen enligt följande:

Betrakta nu funktionen som en serie befogenheter i x = a:

Om vi ​​utför en analog analys till den tidigare, skulle vi behöva skriva funktionen f som:

Dessa serier är kända som Taylor-serie f i a. När a = 0 har vi det speciella fallet som kallas Maclaurin-serien. Denna typ av serie har stor matematisk betydelse, särskilt i numerisk analys, eftersom tack vare dessa kan vi definiera funktioner i datorer som^x , sin (x) och cos (x).

exempel

Hämta Maclaurins serien för e^x.

Observera att om f (x) = e^x, då f^(N)(x) = e^x och f^(N)(0) = 1, varför hans Maclaurin-serie är:

referenser

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (s.f.). 5ed beräkning. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). BERÄKNINGEN med analytisk geometri. HARLA, S.A.
3. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). beräkning. Mexiko: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Differentiell beräkning. hypotenusan.
5. Saenz, J. (s.f.). Omfattande analys. hypotenusan.