Algebraiska derivat (med exempel)

den algebraiska derivat de består i studien av derivatet i det särskilda fallet med algebraiska funktioner. Ursprunget av begreppet derivat går tillbaka till antikens Grekland. Utvecklingen av denna uppfattning motiverades av behovet av att lösa två viktiga problem, en i fysik och den andra i matematik.

I fysiken löser derivatet problemet med att bestämma det momentana hastigheten hos ett rörligt föremål. I matematik kan du hitta tangentlinjen till en kurva vid en given punkt.

Även om det finns många fler problem som löses med hjälp av derivatet, liksom dess generaliseringar, resultat som kom efter införandet av konceptet.

Pionjärerna i differentialberäkningen är Newton och Leibniz. Innan vi ger den formella definitionen kommer vi att utveckla tanken bakom, ur matematisk och fysisk synvinkel.

index

• 1 Derivatet som lutning av tangentlinjen till en kurva
• 2 Derivatet som momentan hastighet hos ett rörligt föremål
  • 2.1 Algebraisk funktion
• 3 Derivationsregler
  • 3.1 Avled från en konstant
  • 3.2 Derivat av en kraft
  • 3.3 Avledad från addition och subtraktion
  • 3.4 Derivat av en produkt
  • 3.5 Avled från en kvotient
  • 3.6 Kedjans regel
• 4 referenser

Derivatet som lutning av tangentlinjen till en kurva

Antag att grafen för en funktion y = f (x) är ett kontinuerligt diagram (utan toppar eller vertikaler eller separationer) och låt A = (a, f (a)) vara en fast punkt på den. Vi vill hitta ekvationen för tangentlinjen till grafen för funktionen f vid punkt A.

Ta någon annan punkt P = (x, f (x)) i diagrammet, nära punkt A, och dra sekantlinjen som passerar genom A och P. En sekantlinje är en linje som skär kurvan för en kurva i en eller fler poäng.

För att få den tangentlinje som vi vill behöver vi bara beräkna lutningen eftersom vi redan har en punkt på linjen: punkt A.

Om vi ​​flyttar punkten P längs grafen och tar den närmare punkt A kommer den ovan nämnda sekantlinjen att närma oss tangentlinjen vi vill hitta. Tar gränsen när "P tenderar att A", kommer båda linjerna att sammanfalla, därför är dess backar också.

Snedställets lutning ges av

Att säga att P närmar sig A motsvarar att "x" närmar sig "a". Således kommer tangentlinjens lutning till grafen av f vid punkt A att vara lika med:

Ovanstående uttryck betecknas med f '(a) och definieras som derivatet av en funktion f vid punkt "a". Vi ser då det analytiskt, derivaten av en funktion i en punkt är en gräns, men geometriskt är det linjens lutning tangent till funktionsgrafen i punkten.

Nu kommer vi att se detta begrepp ur fysikens synvinkel. Vi kommer att komma fram till samma uttryck för föregående gräns, även om vi på ett annat sätt får enighetens enighet.

Derivatet som momentan hastighet hos ett rörligt föremål

Låt oss se ett kort exempel på hur snabb hastighet betyder. När det exempelvis sägs att en bil för att nå en destination gjorde det med en hastighet på 100 km per timme, vilket innebär att den på en timme reste 100 km.

Det betyder inte nödvändigtvis att bilen under hela timmen alltid var 100 km bort, bilens hastighetsmätare skulle ibland kunna markera mindre eller mer. Om han hade behov av att stanna vid ett trafikljus var hastigheten vid det ögonblicket 0 km. Men efter en timme var rutten 100 km.

Det här är vad som kallas medelhastighet och ges av kvoten av det avstånd som reste mellan den förflutna tiden, som vi just har sett. Den momentana hastigheten å andra sidan är den som markerar nålen på hastighetsmätaren på en bil i en omedelbar tid.

Låt oss titta på detta nu mer allmänt. Antag att ett föremål rör sig längs en linje och att denna förskjutning representeras med ekvationen s = f (t), där variabeln t mäter tiden och variabeln s förskjutningen, med hänsyn till dess början i ögonblicket t = 0, vid vilken tid det också är noll, det vill säga f (0) = 0.

Denna funktion f (t) är känd som en positionsfunktion.

Ett uttryck söks för objektets momentana hastighet vid ett bestämt ögonblick "a". Vid denna hastighet kommer vi att beteckna det med V (a).

Låt inte vara omedelbar nära det ögonblickliga "a". I tidsintervallet mellan "a" och "t" är ändringen av positionen givet av f (t) -f (a).

Medelhastigheten i detta tidsintervall är:

Vilket är en approximation av den momentana hastigheten V (a). Denna approximation kommer att bli bättre när t närmar sig "a". därför,

Observera att detta uttryck är lika med det som erhölls i det föregående fallet, men från ett annat perspektiv. Detta är vad som är känt som derivatet av en funktion f vid en punkt "a" och betecknas med f '(a), som anges ovan.

Observera att ändringen h = x-a har vi när "x" tenderar att "a", "h" tenderar att vara 0 och den tidigare gränsen omvandlas (ekvivalent) till:

Båda uttrycken är likvärdiga men ibland är det bättre att använda en i stället för den andra, beroende på fallet.

Derivatet av en funktion f definieras sedan mer allmänt vid vilken som helst punkt "x" som tillhör sin domän som

Den vanligaste notationen för att representera derivatet av en funktion y = f (x) är den som vi just har sett (f 'o och'). En annan mycket använt notation är Leibniz-notationen som representeras som något av följande uttryck:

Med tanke på det faktum att derivatet är väsentligen en gräns kan det eller inte existera, eftersom gränserna inte alltid existerar. Om det existerar sägs att funktionen i fråga är differentierbar vid den angivna punkten.

Algebraisk funktion

En algebraisk funktion är en kombination av polynomier med hjälp av summor, subtraktioner, produkter, kvoter, krafter och radikaler.

Ett polynom är ett uttryck för formen

P_n= a_nxⁿ+ till_n-1x^n-1+ till_n-2x^n-2+... + a₂x²+ till₁x + a₀

Där n är ett naturligt tal och alla a_jag, med i = 0,1, ..., n, är rationella tal och a_n≠ 0 I detta fall sägs att graden av detta polynom är n.

Följande är exempel på algebraiska funktioner:

Här ingår inte exponentiella, logaritmiska och trigonometriska funktioner. Reglerna för avledning som vi kommer att se nedan gäller för funktioner i allmänhet, men vi kommer att begränsa oss och tillämpa dem vid algebraiska funktioner.

Bypassregler

Avledas från en konstant

Det fastställs att derivatet av en konstant är noll. Det vill säga om f (x) = c, då f '(x) = 0. Till exempel är derivatet av den konstanta funktionen 2 lika med O.

Avled från en kraft

Om f (x) = xⁿ, då f '(x) = nx^n-1. Till exempel, derivatet av x³ Det är 3x². Som en följd av detta får vi att derivatet av identitetsfunktionen f (x) = x är f '(x) = 1x^1-1= x⁰= 1.

Ett annat exempel är följande: var f (x) = 1 / x², då f (x) = x^-2 och f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Denna egenskap är också giltig rötter, eftersom rötterna är rationella befogenheter och du kan även tillämpa ovanstående i det fallet. Till exempel ges derivatet av en kvadratrot av

Avledas från summa och subtraktion

Om f och g är differentierbara funktioner i x är summan f + g också annorlunda och att (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Analogt har vi det (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Med andra ord är derivatet av en summa (subtraktion) summan (eller subtraktionen) av derivaten.

exempel

Om h (x) = x²+x-1, då

h '(x) = (x²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Avled från en produkt

Om f och g är differentierbara funktioner i x, är produkten fg också differentierbar i x och den är uppfylld som

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Som en konsekvens har vi att om c är en konstant och f är en differentierbar funktion i x, så är cf också differentierbar i x och (cf) '(x) = cf' (X).

exempel

Om f (x) = 3x (x²+1), då

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²) '+ (1)']

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+3 + 6x²

= 9x²+3.

Härledd från en kvotient

Om f och g är differentierbara i x och g (x) ≠ 0, är ​​f / g också differentierbar i x, och det är sant att

exempel: om h (x) = x³/ (x²-5x), då

h '(x) = [(x³) '(x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '] / (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

Kedjeregel

Denna regel tillåter avledning av funktionens sammansättning. Stater: om y = f (u) är differentierbar i u, (x) är u = g differentierbar i x, sedan den sammansatta funktionen f (g (x)) är differentierbar i x, och det gäller att [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Det vill säga, derivaten av en sammansatt funktion är produkten av derivatet av den externa funktionen (externt derivat) med derivatet av den interna funktionen (internt derivat).

exempel

Om f (x) = (x⁴-2x)³, sedan

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Det finns också resultat att beräkna derivatet av invers av en funktion, liksom generaliseringen till högre orderderivat. Applikationerna är omfattande. Bland dem framhäver de sina verktyg i problem med optimering och maximala och minimala funktioner.

referenser

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Differentiell beräkning. ITM.
2. Cabrera, V. M. (1997). Beräkning 4000. Editorial Progreso.
3. Castaño, H. F. (2005). Matematik före beräkning. Universitetet i Medellin.
4. Eduardo, N. A. (2003). Introduktion till beräkning. Tröskelutgåvor.
5. Källor, A. (2016). Grundläggande matematik. En introduktion till beräkning. Lulu.com.
6. Purcell, E.J., Rigdon, S.E., och Varberg, D.E. (2007). beräkning. Pearson Education.
7. Saenz, J. (2005). Differentiell beräkning (Andra red.). Barquisimeto: Hypotenus.
8. Thomas, G. B., & Weir, M. D. (2006). Beräkning: flera variabler. Pearson Education.