Vad är summan av kvadraterna i två på varandra följande siffror?



Att veta vad är summan av kvadraterna i två på varandra följande siffror, du kan hitta en formel, med vilken det är tillräckligt att ersätta de aktuella talen för att få resultatet.

Denna formel kan hittas på ett allmänt sätt, det vill säga det kan användas för några par på varandra följande nummer.

Genom att säga "på varandra följande siffror", säger vi implicit att båda siffrorna är heltal. Och när han talar om "rutorna" hänvisar han till att kvadrera varje nummer.

Om vi ​​till exempel ser siffrorna 1 och 2 är deras kvadrater 1² = 1 och 2² = 4, därför är summan av kvadraterna 1 + 4 = 5.

Å andra sidan, om siffrorna 5 och 6 tas, är deras kvadrater 5 ² = 25 och 6 ² = 36, varvid summan av kvadraterna är 25 + 36 = 61.

Vad är summan av kvadraterna i två på varandra följande siffror?

Målet är nu att generalisera vad som har gjorts i de tidigare exemplen. För detta är det nödvändigt att hitta ett allmänt sätt att skriva ett heltal och dess sammanhängande helhet.

Om två på varandra följande heltal observeras, exempelvis 1 och 2, kan det ses att 2 kan skrivas som 1 + 1. Även om vi tittar på siffrorna 23 och 24, konstaterar vi att 24 kan skrivas som 23 + 1.

För negativa heltal kan detta beteende också verifieras. I själva verket, om du anser att -35 och -36, kan du se det -35 = -36 + 1.

Om ett heltal "n" väljs är därför heltalet i följd till "n" "n + 1". Således har en relation mellan två på varandra följande heltal redan fastställts.

Vad är summan av rutorna?

Med tanke på två på varandra följande heltal "n" och "n + 1" är deras kvadrater "n²" och "(n + 1) ²". Med hjälp av egenskaperna hos anmärkningsvärda produkter kan denna sista term skrivas enligt följande:

(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1.

Slutligen ges summan av kvadraterna för de två efterföljande talen med uttrycket:

n2 + n2 + 2n + 1 = 2n2 + 2n + 1 = 2n (n + 1) +1.

Om den föregående formeln är detaljerad kan det ses att det är tillräckligt att känna det minsta heltalet "n" för att veta vad summan av rutorna är, det vill säga det är tillräckligt att använda de mindre av de två heltal.

Ett annat perspektiv på den erhållna formeln är: de valda numren multipliceras, sedan erhålles det erhållna resultatet med 2 och slutligen tillsätts 1.

Å andra sidan är den första summan till höger ett jämnt tal, och när du lägger till 1 kommer resultatet att vara udda. Detta säger att resultatet av att lägga till rutorna i två på varandra följande siffror alltid kommer att vara ett udda tal.

Det kan också noteras att eftersom två kvadrerade tal läggs till, kommer detta resultat alltid att vara positivt.

exempel

1.- Tänk på heltalna 1 och 2. Det minsta heltalet är 1. Med hjälp av ovanstående formel sluts vi att summan av kvadraterna är: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4+ 1 = 5. Vilket överensstämmer med de konton som gjorts i början.

2.- Om heltal 5 och 6 tas, blir summan av kvadraterna 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, vilket också sammanfaller med det resultat som erhållits i början.

3.- Om heltalet -10 och -9 är valt, är summan av deras kvadrater: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Låt heltal i denna möjlighet -1 och 0, då summan av deras kvadrater ges av 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.

referenser

  1. Bouzas, P. G. (2004). Algebra i gymnasiet: Samverkansarbete i matematik. Narcea Editions.
  2. Cabello, R. N. (2007). Makt och rötter. Publicatuslibros.
  3. Cabrera, V. M. (1997). Beräkning 4000. Editorial Progreso.
  4. Guevara, M.H. (s.f.). Satsen av hela numren. EUNED.
  5. Oteyza, E. d. (2003). Albegra. Pearson Education.
  6. Smith, S. A. (2000). algebra. Pearson Education.
  7. Thomson. (2006). Passerar GED: Matematik. InterLingua Publishing.