Beräkning av approximationer med användning av differentialen

En approximation i matematik är ett tal som inte är det exakta värdet av något men är så nära att det anses vara användbart som det exakta värdet.

När approximationer görs i matematik beror det på att det är svårt (eller ibland omöjligt) att veta det exakta värdet av vad som är önskat.

Huvudverktyget när man arbetar med approximationer är skillnaden i en funktion.

Differensen av en funktion f, betecknad av Δf (x), är inte mer än derivatet av funktionen f multiplicerat med förändringen i den oberoende variabeln, dvs Δf (x) = f '(x) * Δx.

Ibland används df och dx istället för Δf och Δx.

Tillvägagångssätt som använder differentialen

Formeln som tillämpas för att göra en approximation genom differentialen uppstår exakt från definitionen av derivatet av en funktion som en gräns.

Denna formel ges av:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Här förstås att Δx = x-x0, därför x = x0 + Δx. Med denna kan formeln omskrivas som

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Det bör noteras att "x0" inte är ett godtyckligt värde, men är ett värde så att f (x0) är lättkänt; Dessutom är "f (x)" det värde vi vill approximera.

Finns det bättre approximationer?

Svaret är ja. Den föregående är den enklaste av approximationerna som kallas "linjär approximation".

För bättre kvalitet approximationer (felet är mindre) används polynom med flera derivat som kallas "Taylor polynomier", liksom andra numeriska metoder som bland annat Newton-Raphson-metoden..

strategi

Strategin att följa är:

- Välj en lämplig funktion f för att utföra approximationen och värdet "x" så att f (x) är det värde du vill approximera.

- Välj ett värde "x0", nära "x", så att f (x0) är lätt att beräkna.

- Beräkna Δx = x-x0.

- Beräkna derivatet av funktionen och f '(x0).

- Byt data i formeln.

Lösade approximationsövningar

I vad som fortsätter finns en serie övningar där approximationer görs med hjälp av differentialen.

Första träningen

Ca √3.

lösning

Efter strategin måste en lämplig funktion väljas. I det här fallet kan man se att funktionen att välja måste vara f (x) = √x och det ungefärliga värdet är f (3) = √3.

Nu måste vi välja ett värde "x0" nära "3" så att f (x0) är lätt att beräkna. Om du väljer "x0 = 2" har du att "x0" ligger nära "3" men f (x0) = f (2) = √2 är inte lätt att beräkna.

Värdet av "x0" som är bekvämt är "4", eftersom "4" ligger nära "3" och även f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Om "x = 3" och "x0 = 4", då Δx = 3-4 = -1. Nu fortsätter vi att beräkna derivatet av f. Det vill säga f '(x) = 1/2 * √x, så att f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Att ersätta alla värden i formeln du får:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Om en räknare används, erhålls det att √3≈1.73205 ... Detta visar att föregående resultat är en bra approximation av det verkliga värdet.

Andra övningen

Cirka √10.

lösning

Som tidigare väljs det som en funktion f (x) = √x och i detta fall x = 10.

Värdet av x0 som måste väljas i detta tillfälle är "x0 = 9". Vi har då det Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 och f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

När du utvärderar i formeln får du det

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666 ...

Med en räknare får du det √10 ≈ 3.1622776 ... Här kan du också se att en god approximation erhölls före.

Tredje övningen

Ungefär ³√10, där ³√ betecknar den kubiska roten.

lösning

Tydligen är funktionen som ska användas i denna övning f (x) = ³√x och värdet av "x" måste vara "10".

Ett värde nära "10" så att kubrotten är känd är "x0 = 8". Då har vi det Δx = 10-8 = 2 och f (x0) = f (8) = 2. Vi har också det f '(x) = 1/3 * ³√x² och följaktligen f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Att ersätta data i formeln erhålls att:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .

Kalkylatorn säger att ³√10 ≈ 2.15443469 ... Därför är approximationen funnen bra.

Fjärde övningen

Ungefär ln (1.3), där "ln" betecknar den naturliga logaritmen funktionen.

lösning

Först väljs funktionen f (x) = ln (x) och värdet av "x" är 1,3. Nu vet lite om logaritmen funktionen kan veta att ln (1) = 0, och även "en" nära "1,3". Därför väljs "x0 = 1" och såxx = 1,3 - 1 = 0,3.

Å andra sidan f '(x) = 1 / x, så att f' (1) = 1. Vid utvärdering i den givna formeln måste du:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

När du använder en kalkylator måste du ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Så approximationen är bra.

referenser

1. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Precalculus Matematik. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Precalculus matematik: ett problemlösande tillvägagångssätt (2, Illustrerad red.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 red.). Cengage Learning.
5. Leal, J. M., & Viloria, N.G. (2005). Platt analytisk geometri. Mérida - Venezuela: Redaktionell Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). beräkning (Nionde ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differentialkalkyl med tidiga transcendentala funktioner för vetenskap och teknik (Andra upplagan ed.). hypotenusan.
9. Scott, C.A. (2009). Kartesian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (tryckt utgåva). Blixtkälla.
10. Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Education.