Tekniska räknemetoder, applikationer och exempel



den räkningstekniker är en serie sannolikhetsmetoder för att räkna det möjliga antalet arrangemang inom en uppsättning eller flera uppsättningar objekt. Dessa används när man manuellt gör kontona komplicerat på grund av det stora antalet objekt och / eller variabler.

Lösningen på detta problem är till exempel väldigt enkelt: tänk på att din chef ber dig räkna de senaste produkterna som har kommit fram till den sista timmen. I det här fallet kan du gå och räkna produkterna en efter en.

Men föreställ dig att problemet är detta: din chef ber dig räkna hur många grupper av 5 produkter av samma typ kan formas med dem som har kommit den sista timmen. I detta fall blir beräkningen komplicerad. De så kallade räkningsteknikerna används för denna typ av situation.  

Dessa tekniker är flera, men de viktigaste är uppdelade i två grundläggande principer, som är multiplikativet och tillsatsen; permutationer och kombinationer.

index

  • 1 multiplikativ princip
    • 1.1 applikationer
    • 1,2 Exempel
  • 2 Additiv princip 
    • 2.1 applikationer
    • 2,2 Exempel
  • 3 Permutationer
    • 3.1 applikationer
    • 3.2 Exempel
  • 4 kombinationer
    • 4.1 applikationer
    • 4.2 Exempel
  • 5 referenser 

Multiplikationsprincipen

tillämpningar

Multiplikationsprincipen, tillsammans med additivet, är grundläggande för att förstå driften av räkningstekniker. I fråga om multiplicativet består det av följande:

Föreställ dig en aktivitet som innefattar ett visst antal steg (summan är markerad som "r"), där det första steget kan göras av N1-formulär, det andra steget i N2 och steg "r" av Nr-formulär. I det här fallet kan aktiviteten utföras från antalet former som härrör från denna operation: N1 x N2 x ... .x Nr formulär

Det är därför som denna princip kallas multiplicativ och innebär att varje steg som krävs för att utföra aktiviteten måste göras en efter en. 

exempel

Låt oss föreställa oss en person som vill bygga en skola. För att göra detta, anser att byggnadens botten kan byggas på två olika sätt, cement eller betong. När det gäller väggarna kan de göras av adobe, cement eller tegel.

När det gäller taket kan det byggas av cement eller galvaniserat ark. Slutligen kan den slutliga målningen endast göras på ett sätt. Frågan som uppstår är följande: Hur många sätt måste skolan bygga??

Först betraktar vi antalet steg, som skulle vara basen, väggarna, taket och målningen. Totalt 4 steg, så r = 4.

Följande skulle vara att lista N:

N1 = sätt att bygga basen = 2

N2 = sätt att bygga väggarna = 3

N3 = sätt att ta taket = 2

N4 = sätt att göra färg = 1

Därför skulle antalet möjliga former beräknas med formeln som beskrivits ovan:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 sätt att slutföra skolan.

Additiv princip

tillämpningar

Denna princip är väldigt enkel, och det är, om det finns befintliga flera alternativ för att utföra samma aktivitet, består det möjliga sättet av summan av de olika möjliga sätten att göra alla alternativ.

Med andra ord, om vi vill utföra en verksamhet med tre alternativ, där det första alternativet kan göras i M-former, den andra i N-formulär och den sista i W-former kan aktiviteten göras av: M + N + ... + W-blanketter.

exempel

Föreställ dig den här gången en person som vill köpa en tennisracket. För detta har det tre varumärken att välja mellan: Wilson, Babolat eller Head.

När han går till affären ser han att Wilson-racketen kan köpas med handtaget i två olika storlekar, L2 eller L3 i fyra olika modeller och kan strängas eller utan strängning.

Babolat-racketen har å andra sidan tre handtag (L1, L2 och L3), det finns två olika modeller och det kan också strängas eller utan strängning.

Huvudbäcket är å andra sidan endast med ett handtag, L2, i två olika modeller och endast utan strängning. Frågan är: Hur många sätt måste den här personen köpa sin racket??

M = Antal sätt att välja en Wilson-racket

N = Antal sätt att välja en Babolat-racket

W = Antal sätt att välja ett huvudrackett

Vi gör multiplikatorns princip:

M = 2 x 4 x 2 = 16 former

N = 3 x 2 x 2 = 12 former

W = 1 x 2 x 1 = 2 former

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 sätt att välja en racket.

För att veta när man ska använda multiplikationsprincipen och tillsatsen måste man bara se om aktiviteten har en rad åtgärder som ska utföras och om det finns flera alternativ, tillsatsen.

permutationer

tillämpningar

För att förstå vad en permutation är, är det viktigt att förklara vad en kombination är för att skilja dem och veta när de ska användas.

En kombination skulle vara ett arrangemang av element där vi inte är intresserade av den position som var och en av dem upptar.

En permutation, å andra sidan, skulle vara ett arrangemang av element där vi är intresserade av den position som var och en av dem upptar.

Låt oss ge ett exempel för att bättre förstå skillnaden.

exempel

Föreställ dig en klass med 35 elever, och med följande situationer:

  1. Läraren vill att tre av hans elever ska hjälpa honom att hålla klassen ren eller leverera material till andra studenter när han behöver det.
  2. Läraren vill utse klassdelegaterna (en president, en assistent och en finansör).

Lösningen skulle vara följande:

  1. Föreställ dig att genom att rösta Juan, María och Lucía är utvalda att rengöra klassen eller leverera materialet. Självklart kunde andra grupper av tre personer ha bildats bland de 35 möjliga studenterna.

Vi måste fråga oss följande: Är det viktigt att ordningen eller den position som var och en av eleverna upptar vid tidpunkten för valet av dem??

Om vi ​​tänker på det ser vi att det verkligen inte är viktigt, eftersom gruppen kommer att ta hand om båda uppgifterna lika. I det här fallet är det en kombination, eftersom vi inte är intresserade av elementenes position.

  1. Tänk nu att John är vald som president, Maria som assistent och Lucia som ekonomisk.

I det här fallet skulle ordningsfrågan? Svaret är ja, för om vi ändrar elementen ändras resultatet. Det är, om vi istället för att sätta Juan som president, sätta honom som assistent, och Maria som president, skulle det slutliga resultatet förändras. I detta fall är det en permutation.

När skillnaden är förstådd kommer vi att få formuleringarna av permutationer och kombinationer. Först måste vi definiera termen "n!" (Faktorial) eftersom den kommer att användas i de olika formlerna.

n! = till produkten från 1 till n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

Använda det med reella tal:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3 628 800

 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Formeln för permutationerna skulle vara följande:

nPr = n! / (n-r)!

Med det kan vi ta reda på de arrangemang där ordern är viktig, och där n-elementen är olika.

kombinationer

tillämpningar

Som vi tidigare har kommenterat är kombinationerna arrangemang där vi inte bryr oss om elementenes position.

Dess formel är följande:

nCr = n! / (n-r)! r!

exempel

Om det finns 14 studenter som vill frivilligt rengöra klassrummet, hur många rengöringsgrupper kan varje grupp bildas av 5 personer??

Lösningen skulle därför vara följande:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 grupper

referenser

  1. Jeffrey, R.C., Sannolikhet och diktens konst, Cambridge University Press. (1992).
  2. William Feller, "En introduktion till sannolikhetsteori och dess tillämpningar", (Vol 1), 3: e Ed, (1968), Wiley
  3. Finetti, Bruno de (1970). "Logiska grundvalar och mätning av subjektiv sannolikhet". Psykologisk lag.
  4. Hogg, Robert V .; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introduktion till matematisk statistik (6: e upplagan). Upper Saddle River: Pearson.
  5. Franklin, J. (2001) Bevisets vetenskap: Bevis och sannolikhet före Pascal,Johns Hopkins University Press.