Vad är sneda trianglar? (med lösta övningar)

den sneda trianglar är de trianglar som inte är rektanglar. Det är trekantar så att ingen av dess vinklar är rätt vinkel (dess mätning är 90º).

Har ingen rätt vinkel, kan den pythagoranska teorem inte tillämpas på dessa trianglar.

Därför är det nödvändigt att använda andra formler för att känna till data i en sned triangel.

Formlerna som är nödvändiga för att lösa en snedvinklad triangel är de så kallade lagarna av sines och cosines, som kommer att beskrivas senare.

Utöver dessa lagar kan det faktum att summan av en triangels inre vinklar är lika med 180º alltid kan användas..

Sneda trianglar

Som det sagts i början är en sned triangel en triangel så att ingen av dess vinklar mäter 90º.

Problemet med att hitta längderna på sidorna av en snedvinklad triangel, liksom att hitta mätningarna av dess vinklar, kallas "upplösning av sneda trianglar".

Ett viktigt faktum när man arbetar med trianglar är att summan av de tre inre vinklarna i en triangel är lika med 180º. Detta är ett allmänt resultat, därför kan det för sneda trianglar också tillämpas.

Bröst och kosinislagar

Givet en triangel ABC med sidor av längden "a", "b" och "c":

- Den Sinussatsen anges att a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), där A, B och C är motsatsen till "a", "b" och "c" vinklar respektive.

- Cosinuslagen säger att: c2 = a2 + b2 - 2ab * cos (C). Likvärdigt kan följande formler användas:

b2 = a2 + c2 - 2ac * cos (B) eller a2 = b2 + c2 - 2bc * cos (A).

Med hjälp av dessa formler kan du beräkna data i en snedvinkel triangel.

utbildning

Här är några övningar där du bör hitta de saknade uppgifterna för de trianglar som ges, från vissa data som tillhandahålls.

Första övningen

Givet en triangel ABC så att A = 45º, B = 60º och a = 12cm, beräkna de andra data i triangeln.

lösning

Med detta är summan av en triangels inre vinklar lika med 180º, du måste

C = 180º-45º-60º = 75º.

De tre vinklarna är redan kända. Fortsätt sedan med att använda bröstlagen för att beräkna de två sidorna som saknas.

De ekvationer som ställs är 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Från den första jämställdheten kan du rensa "b" och få det

b = 12 * sin (60º) / synd (45º) = 6√6 ≈ 14.696cm.

Du kan också rensa "c" och få det

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16.392 cm.

Andra övningen

Med tanke på triangeln ABC så att A = 60º, C = 75º och b = 10cm, beräkna de andra data i triangeln.

lösning

Som i föregående övning, B = 180º-60º-75º = 45º. Vidare, med användning av Sinussatsen man har att en / sin (60) = 10 / sin (45) = c / sin (75 °), från vilken det resulterar att a = 10 * sin (60 °) / sin (45 °) = 5√6 ≈ 12.247 cm c = 10 * sin (75 °) / sin (45) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 cm.

Tredje övningen

Med tanke på triangeln ABC så att a = 10cm, b = 15cm och C = 80º, beräkna de andra data i triangeln.

lösning

I denna övning är bara en vinkel känd, därför kan du inte börja som du gjorde i de två tidigare övningarna. Också bröstlagen kan inte tillämpas eftersom ingen ekvation kunde lösas.

Därför fortsätter vi att tillämpa cosinuslagen. Det är då det

c2 = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 cm,

så att ≈ 16,51 cm. Nu, att känna till de 3 sidorna, används brödernas lag och du får

10 / sin (A) = 15 / synd (B) = 16,51 cm / sin (80º).

Härifrån, vid clearing B resulterar det utan (B) = 15 * sin (80º) / 16.51 ≈ 0.894, vilket innebär att B ≈ 63.38º.

Nu kan det erhållas att A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

Fjärde övningen

Sidorna av en sned triangel är a = 5cm, b = 3cm och c = 7cm. Beräkna vinkeln på triangeln.

lösning

Återigen kan bröstlagen inte tillämpas direkt eftersom ingen ekvation skulle tjäna till att få värdet av vinklarna.

Användning cosinus rätten skall C² = A + b ^ - 2AB cos (C), där clearing har att cos (C) = (a ^ + b ^ - C²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 och därmed C = 120º.

Nu om du kan tillämpa Sinussatsen och få 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120: e), där du kan rensa B och få det utan (B) = 3 * synd (120º) / 7 = 0.371, så att B = 21.79º.

Slutligen beräknas den sista vinkeln med A = 180º-120º-21.79º = 38.21º.

referenser

1. Landaverde, F. d. (1997). geometri (Reprint ed.). framsteg.
2. Leake, D. (2006). trianglar (illustrerad utgåva). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). geometrier. CR-teknik.
5. Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometri och Analytisk Geometri. Pearson Education.