Vad är trigonometriska gränser? (med lösta övningar)

den trigonometriska gränser de är gränser för funktioner så att dessa funktioner bildas av trigonometriska funktioner.

Det finns två definitioner som måste vara kända för att förstå hur beräkningen av en trigonometrisk gräns utförs.

Dessa definitioner är:

- Gränsen för en funktion "f" när "x" tenderar att "b": det består i att beräkna det värde som f (x) närmar sig som "x" närmar sig "b" utan att nå "b".

- Trigonometriska funktioner: De trigonometriska funktionerna är sinus-, cosinus- och tangentfunktionerna, betecknade med sin (x), cos (x) respektive tan (x).

De andra trigonometriska funktionerna erhålls från de ovan nämnda tre funktionerna.

Funktionsgränser

För att klargöra begreppet gränsen för en funktion fortsätter man att visa några exempel med enkla funktioner.

- Gränsen för f (x) = 3 när "x" tenderar att "8" är lika med "3", eftersom funktionen alltid är konstant. Oavsett hur mycket "x" är värt, kommer värdet av f (x) alltid att vara "3".

- Gränsen för f (x) = x-2 när "x" tenderar att "6" är "4". Sedan när "x" närmar sig "6" närmar sig "x-2" "6-2 = 4".

- Gränsen för g (x) = x² när "x" tenderar att "3" är lika med 9, eftersom när "x" närmar sig "3" närmar sig "x²" "3² = 9".

Som framgår av de tidigare exemplen består beräkningen av en gräns av att värdera det värde som "x" tenderar i funktionen och resultatet blir gränsvärdet, även om detta endast gäller för kontinuerliga funktioner.

Finns det mer komplicerade gränser?

Svaret är ja. Ovanstående exempel är de enklaste exemplen på gränser. I beräkningsböckerna är huvudgränserna de som genererar en bestämning av typen 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 och (∞) ^ 0.

Dessa uttryck kallas indeterminationer eftersom de är uttryck som matematiskt inte är meningsfulla.

Utöver det, beroende på de funktioner som är inblandade i den ursprungliga gränsen, kan det resultat som uppnås för att lösa obestämningarna vara olika i varje enskilt fall.

Exempel på enkla trigonometriska gränser

För att lösa gränser är det alltid mycket användbart att känna till graferna för de inblandade funktionerna. Nedan är graferna för sinus-, cosinus- och tangentfunktionerna.

Några exempel på enkla trigonometriska gränser är:

- Beräkna gränsen för sin (x) när "x" tenderar att "0".

När du ser grafen kan du se att om "x" närmar sig "0" (både till vänster och till höger), når sinusgrafen också "0". Därför är gränsen för sin (x) när "x" tenderar att "0" vara "0".

- Beräkna gränsen för cos (x) när "x" tenderar att "0".

Observera cosinusgrafen kan man se att när "x" är nära "0" är cosinusgrafen nära "1". Detta innebär att gränsen för cos (x) när "x" tenderar att "0" är lika med "1".

En gräns kan existera (vara ett tal), som i tidigare exempel, men det kan också hända att det inte existerar som visas i följande exempel.

- Gränsen för tan (x) när "x" tenderar att "Π / 2" till vänster är lika med "+ ∞", vilket kan ses i diagrammet. Å andra sidan är gränsen för tan (x) när "x" tenderar att "-Π / 2" till höger motsvara "-∞".

Identiteter av trigonometriska gränser

Två mycket användbara identiteter vid beräkning av trigonometriska gränser är:

- Gränsen för "sin (x) / x" när "x" tenderar att "0" är lika med "1".

- Gränsen för "(1-cos (x)) / x" när "x" tenderar att "0" är lika med "0".

Dessa identiteter används mycket ofta när du har någon form av obestämdhet.

Lösta övningar

Lös följande gränser med de ovan beskrivna identiteterna.

- Beräkna gränsen för "f (x) = sin (3x) / x" när "x" tenderar att "0".

Om funktionen "f" utvärderas i "0" kommer en bestämning av typ 0/0 att erhållas. Därför måste vi försöka lösa denna obestämdhet med de beskrivna identiteterna.

Den enda skillnaden mellan denna gräns och identitet är det nummer 3 som visas inom sinusfunktionen. För att kunna använda identiteten måste funktionen "f (x)" skrivas på följande sätt "3 * (sin (3x) / 3x)". Nu är både argumentet för sinus och nämnaren lika.

Så när "x" tenderar att "0", använder identiteten resultat i "3 * 1 = 3". Därför är gränsen för f (x) när "x" tenderar att "0" motsvara "3".

- Beräkna gränsen för "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" när "x" tenderar att "0".

När "x = 0" är substituerad i g (x) erhålls en bestämning av typen ∞-∞. För att lösa det subtraheras fraktionerna, vilket ger resultatet "(1-cos (x)) / x".

När vi tillämpar den andra trigonometriska identiteten har vi gränsen för g (x) när "x" tenderar att "0" är lika med 0.

- Beräkna gränsen för "h (x) = 4tan (5x) / 5x" när "x" tenderar att "0".

Återigen, om du utvärderar h (x) till "0" får du en bestämning av typ 0/0.

Omskrivning av solbränna (5x) som synd (5x) / cos (5x), resulterar att h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Med hjälp av gränsen för 4 / cos (x) när "x" tenderar att "0" är lika med "4/1 = 4" och den första trigonometriska identiteten erhålls så är gränsen för h (x) när "x" tenderar en "0" är lika med "1 * 4 = 4".

observation

Trigonometriska gränser är inte alltid lätta att lösa. I denna artikel visades bara grundläggande exempel.

referenser

1. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Precalculus Matematik. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Precalculus matematik: ett problemlösande tillvägagångssätt (2, Illustrerad red.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 red.). Cengage Learning.
5. Leal, J. M., & Viloria, N.G. (2005). Platt analytisk geometri. Mérida - Venezuela: Redaktionell Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). beräkning (Nionde ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differentialkalkyl med tidiga transcendentala funktioner för vetenskap och teknik (Andra upplagan ed.). hypotenusan.
9. Scott, C.A. (2009). Kartesian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (tryckt utgåva). Blixtkälla.
10. Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Education.