Vad är Domänen och Andelsläget för en Funktion? (Med lösta exempel)

Begreppen domän- och motdomänen för en funktion de lär sig vanligtvis i kalkylkurser som lärs ut i början av universitetskarriären.

Innan du definierar domänen och domänen måste du veta vad en funktion är. En funktion f är en lag (regel) av korrespondens mellan elementen i två uppsättningar.

Den uppsättning av vilken elementen väljs kallas domänen för funktionen och den uppsättning till vilken dessa element sänds via f kallas en räknare domän.

I matematik betecknas en funktion med domän A och motdomän B genom uttrycket f: A → B.

Ovanstående uttryck säger att elementen i uppsättning A skickas till uppsättning B enligt korrespondenslagen f.

En funktion tilldelar varje element i uppsättning A ett enda element i uppsättning B.

Domän- och diskdomän

Ges en riktig funktion av en reell variabel f ​​(x), är att vara den domän av funktionen kommer att vara alla dessa reella tal sådana att, när de utvärderas i f, är resultatet ett reellt tal.

I allmänhet är funktionen mot domänen uppsättningen av reella tal R. Kontradomänen kallas också ankomstset eller koddomen för funktionen f.

Motdomänen för en funktion är alltid R?

Nej. Så länge som funktionen inte studeras i detalj, är det vanligtvis som en motdomän satt uppsättningen av reella tal R.

Men när funktionen studeras kan en mer lämplig uppsättning tas som en motdomän som kommer att vara en delmängd av R.

Den lämpliga uppsättningen som nämndes i föregående stycke matchar bilden av funktionen.

Definitionen av bilden eller intervallet för en funktion f avser alla värden som kommer från att utvärdera ett element av domänen i f.

exempel

Följande exempel illustrerar hur man beräknar domänen för en funktion och dess bild.

Exempel 1

Låt f vara en riktig funktion som definieras av f (x) = 2.

Domänen av f är alla reella tal så att resultatet, när det utvärderas i f, är ett reellt tal. Motdomänen är för närvarande lika med R.

Som den given funktion är konstant (alltid lika med 2), är det att oavsett vad det faktiska antalet väljs, eftersom utvärdera if resultatet kommer alltid att vara lika med 2, vilket är ett reellt tal.

Därför är domänen för den givna funktionen alla reella tal; det vill säga A = R.

Nu när det redan är känt att resultatet av funktionen är alltid lika med 2, har bilden av funktion är endast nummer två, därför räknaren-domänfunktion kan omdefinieras som B = Img (f) = 2.

Därför f: R → 2.

Exempel 2

Låt g vara en riktig funktion som definieras av g (x) = √x.

Medan bilden av g inte är känd, är diskdomänen hos g B = R.

Med den här funktionen måste du beakta att kvadratrotsarna endast är definierade för icke-negativa tal. det vill säga för tal som är större än eller lika med noll. Till exempel är √-1 inte ett riktigt tal.

Därför måste domänen för funktionen g vara alla tal som är större än eller lika med noll; detta är, x ≥ 0.

Därför A = [0, + ∞).

För att beräkna intervallet bör det noteras att ett resultat av g (x), som är en kvadratrots, alltid kommer att vara större än eller lika med noll. Det vill säga, B = [0, + ∞).

Sammanfattningsvis g: [0, + ∞] → [0, + ∞).

Exempel 3

Om har funktionen h (x) = 1 / (x-1) har denna funktion är inte definierad för x = 1, eftersom nämnaren noll och division med noll skulle erhållas är inte definierad.

Å andra sidan kommer resultatet för ett annat realt värde att vara ett reellt tal. Domänen är därför alla realer utom en; det vill säga A = R \ 1.

På samma sätt kan det observeras att det enda värdet som inte kan erhållas som ett resultat är 0 eftersom en bråkdel som är lika med noll måste täljaren vara noll.

Därför är bilden av funktionen uppsättningen av alla realer utom noll, så det tas som en räknare domän B = R \ 0.

Sammanfattningsvis h: R \ 1 → R \ 0.

anmärkningar

Domänen och bilden behöver inte vara samma uppsättning, som visas i exempel 1 och 3.

När en funktion är ritad på kartesiska planet representeras domänen av X-axeln och räknarkomänen eller räckvidden representeras av Y-axeln.

referenser

1. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Precalculus Matematik. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Precalculus matematik: ett problemlösande tillvägagångssätt (2, Illustrerad red.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 red.). Cengage Learning.
5. Leal, J. M., & Viloria, N.G. (2005). Platt analytisk geometri. Mérida - Venezuela: Redaktionell Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). beräkning (Nionde ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differentialkalkyl med tidiga transcendentala funktioner för vetenskap och teknik (Andra upplagan ed.). hypotenusan.
9. Scott, C.A. (2009). Kartesian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (tryckt utgåva). Blixtkälla.
10. Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Education.