Multiplikativ Princip Counting Techniques and Examples



den multiplikativ princip är en teknik som används för att lösa räkneproblem för att hitta lösningen utan att det är nödvändigt att lista dess element. Det är också känt som den grundläggande principen för kombinatorisk analys; baseras på successiv multiplikation för att bestämma hur en händelse kan inträffa.

Denna princip fastställer att om ett beslut (d1) kan tas på n sätt och ett annat beslut (d2) kan tas på m sätt, det totala antalet sätt på vilka beslut kan fattas1 och d2 kommer att vara lika med multiplicera av n * m. Enligt principen fattas varje beslut efter varandra: antal sätt = N1 * N2... * Nx sätt.

index

  • 1 exempel
    • 1.1 Exempel 1
    • 1,2 Exempel 2
  • 2 räkningstekniker
    • 2.1 Princip för tillägg
    • 2.2 Princip om permutation
    • 2.3 Princip för kombination
  • 3 Övningar löst
    • 3.1 Övning 1
    • 3.2 Övning 2
  • 4 referenser

exempel

Exempel 1

Paula planerar att gå på bio med sina vänner och att välja kläderna hon ska bära separerar jag 3 blusar och 2 kjolar. Hur många sätt kan Paula klä sig??

lösning

I det här fallet måste Paula göra två beslut:

d1 = Välj mellan 3 blusar = n

d2 = Välj mellan 2 kjolar = m

På så sätt har Paula n * m beslut att göra eller olika sätt att klä sig.

n * m = 3* 2 = 6 beslut.

Multiplikationsprincipen kommer från träddiagrammets teknik, vilket är ett diagram som relaterar alla möjliga resultat, så att var och en kan uppträda ett begränsat antal gånger.

Exempel 2

Mario var väldigt törstig, så han gick till bageriet för att köpa en saft. Luis svarar honom och berättar för honom att han har två storlekar: stor och liten; och fyra smaker: äpple, apelsin, citron och druv. Hur många sätt kan Mario välja juice?

lösning

I diagrammet kan det observeras att Mario har 8 olika sätt att välja saften, och som i multiplikationsprincipen erhålls detta resultat genom multiplikationen av n*m. Den enda skillnaden är att genom det här diagrammet kan du veta hur är de sätt på vilka Mario väljer juice.

Å andra sidan, när antalet möjliga resultat är mycket stort, är det mer praktiskt att använda multiplikationsprincipen.

Räkningstekniker

Räkningstekniker är metoder som används för att göra en direkt räkning, och därmed känna till antalet möjliga arrangemang som elementen i en given uppsättning kan ha. Dessa tekniker bygger på flera principer:

Princip för tillägg

Denna princip anger att om två händelser m och n kan inte ske på samma gång, antalet sätt som kan det första eller andra händelsen inträffar är summan av m + n:

Antal blanketter = m + n ... + x olika former.

exempel

Antonio vill ta en resa men bestämmer inte till vilken destination på South Tourism Agency erbjuder de dig en kampanj att resa till New York eller Las Vegas, medan East Tourism Agency rekommenderar dig att resa till Frankrike, Italien eller Spanien. Hur många olika resealternativ erbjuder Antonio?

lösning

Med South Tourism Agency har Antonio 2 alternativ (New York eller Las Vegas), medan med East Tourism Agency har 3 alternativ (Frankrike, Italien eller Spanien). Antalet olika alternativ är:

Antal alternativ = m + n = 2 + 3 = 5 alternativ.

Principen om permutation

Det handlar om att beställa specifikt alla eller några av de element som utgör en uppsättning för att underlätta räkningen av alla möjliga arrangemang som kan göras med elementen.

Antalet permutationer av n olika element, taget alla på en gång, representeras som:

nPn = n!

exempel

Fyra vänner vill ta en bild och vill veta hur många olika former som kan beställas.

lösning

Du vill veta uppsättningen av alla möjliga sätt på vilka de 4 personerna kan placeras för att ta bilden. Så måste du:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 olika sätt.

Om antalet permutationer av n tillgängliga element tas av delar av en uppsättning som bildas av r-element, representeras den som:

nPr = n! ÷ (n - r)!

exempel

I ett klassrum finns 10 ställen. Om 4 studenter deltar i klassen, på hur många olika sätt kan eleverna uppta positionerna?

lösning

Det totala antalet stolar är 10, och endast 4 kommer att användas. Den angivna formeln används för att bestämma antalet permutationer:

nPr = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 sätt att fylla inläggen.

Det finns fall där några av de tillgängliga elementen i en uppsättning upprepas (de är desamma). För att beräkna antalet arrangemang som tar alla elementen på en gång används följande formel:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

exempel

Hur många olika ord med fyra bokstäver kan bildas från ordet "wolf"?

lösning

I det här fallet har vi 4 element (bokstäver), varav två av dem är exakt samma. Genom att tillämpa den angivna formeln vet vi hur många olika ord som är:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

4P2, 1,1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 olika ord.

Princip för kombination

Det handlar om att fixa alla eller några av de element som bildar en uppsättning utan en specifik ordning. Om du till exempel har en XYZ-array, kommer den att vara identisk med ZXY, YZX, ZYX-arrays, bland andra; Detta beror på att, trots att de inte är i samma ordning, är elementen i varje arrangemang densamma.

När vissa element (r) av uppsättningen (n) tas, ges kombinationens princip med följande formel:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

exempel

I en butik säljer de 5 olika typer av choklad. Hur många olika sätt kan du välja 4 choklad?

lösning

I det här fallet måste du välja 4 choklad av de 5 typerna som säljs i butiken. Ordningen i vilken de väljs spelar ingen roll och dessutom kan en typ av choklad väljas mer än två gånger. Använda formeln måste du:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)! 4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 olika sätt att välja 4 choklad.

När alla element (r) av uppsättningen (n) tas, ges kombinationskonceptet med följande formel:

nCn = n!

Lösta övningar

Övning 1

Du har ett baseballlag med 14 medlemmar. På hur många sätt kan du tilldela 5 positioner för ett spel?

lösning

Satsen består av 14 element och du vill tilldela 5 specifika positioner; det vill säga den ordningen betyder. Permutationsformeln appliceras där n tillgängliga element tas av delar av en uppsättning som bildas av r.

nPr = n! ÷ (n - r)!

Där n = 14 och r = 5. Det är substituerat i formeln:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 sätt att tilldela 9 spelpositioner.

Övning 2

Om en familj på 9 medlemmar går på en resa och köper biljetter med på varandra följande platser, hur många olika sätt kan de sitta på?

lösning

Det är cirka 9 element som kommer att uppta 9 platser i följd.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 olika sätt att sitta.

referenser

  1. Hopkins, B. (2009). Resurser för Undervisning Diskret Matematik: Klassrumsprojekt, Historiemoduler och Artiklar.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskret matematik Pearson Education,.
  3. Lutfiyya, L.A. (2012). Finit och diskret matrislösare. Forsknings- och utbildningsförbundsredaktörer.
  4. Padró, F.C. (2001). Diskret matematik Politec. av Catalunya.
  5. Steiner, E. (2005). Matematik för tillämpad vetenskap. Reverte.