Homotety Egenskaper, Typer och Exempel

den homotecia är en geometrisk förändring i planet, där avståndet från en fast punkt kallas centrum (O) multipliceras med en gemensam faktor. På detta sätt motsvarar varje punkt P en annan punkt P '-produkt från transformationen, och dessa är inriktade med punkten O.

Sedan dilaterar är en motsvarighet mellan två geometriska figurerna, där de transformerade punkter kallas homotetisk, och dessa är i linje med en fast punkt och parallella segment.

index

• 1 Homotecia
• 2 egenskaper
• 3 typer
  • 3.1 Direkt homoteti
  • 3.2 Omvänd homoteti
• 4 Sammansättning
• 5 exempel
  • 5.1 Första exemplet
  • 5.2 Andra exemplet
• 6 referenser

homotecia

Homotetin är en transformation som inte har en kongruent bild, eftersom en eller flera siffror av större eller mindre storlek än den ursprungliga figuren kommer att erhållas från en figur. det vill säga att homotetin omvandlar en polygon till en annan liknande.

Dilaterar för uppfyllande bör motsvara punkt till punkt och rak linje, så att paren av homologa punkter är inriktade med tredjedel fast punkt, som är centrum av homotecia.

På samma sätt måste de par av linjer som går med dem vara parallella. Förhållandet mellan sådana segment är en konstant kallad homotety-förhållandet (k); på ett sådant sätt att homoteten kan definieras som:

För att göra denna typ av omvandling börjar du med att välja en godtycklig punkt, som kommer att vara centrum för homotetin.

Från denna punkt ritas linjesegment för varje toppunkt av figuren som ska transformeras. Skalan i vilken reproduktionen av den nya siffran görs ges av orsaken till homotetin (k).

egenskaper

En av de främsta egenskaperna hos homoteti är att av homotetiska skäl (k) är alla homotetiska figurer liknande. Bland annat framstående egenskaper är följande:

- Centret för homotetin (O) är den enda dubbla punkten och det omvandlas till sig själv; det vill säga det varierar inte.

- Linjerna som passerar genom mitten förvandlar sig (de är dubbla), men punkterna som komponerar det är inte dubbla.

- Straight som inte passerar genom mitten förvandlas till parallella linjer; På detta sätt förblir homotetsvinklarna desamma.

- Bilden av ett segment med en homothet av centrum O och förhållandet k är ett segment parallellt med detta och har k gånger sin längd. Till exempel, såsom visas i följande bild, ett segment AB resultat homotecia annat segment A'B 'så att AB är parallell med A'B' och k vara:

- Homotetiska vinklar är kongruenta; det vill säga de har samma åtgärd. Därför är bilden av en vinkel en vinkel som har samma amplitud.

Å andra sidan varierar homoteten beroende på värdet av förhållandet (k) och följande fall kan uppstå:

- Om konstanten k = 1 är alla punkter fixerade eftersom de omvandlar sig själva. Sålunda sammanfaller den homotetiska figuren med originalet och omvandlingen kommer att kallas identitetsfunktion.

- Om k ≠ 1, kommer den enda fixade punkten att vara centrum för homotetin (O).

- Om k = -1 blir homoteten en central symmetri (C); det vill säga en rotation runt C kommer att ske i en vinkel på 180^eller.

- Om k> 1 är storleken på den transformerade siffran större än originalets storlek.

- Ja 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Ja -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Om k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

Typ

Homoteten kan också klassificeras i två typer, beroende på värdet av förhållandet (k):

Direkt homoteti

Det händer om konstanten k> 0; det vill säga homotetiska punkter är på samma sida med avseende på mitten:

Proportionalitetsfaktorn eller förhållandet mellan likhet mellan direkta homotetiska siffror kommer alltid att vara positivt.

Omvänd homotetik

Det händer om den konstanta k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Faktorn för proportionalitet eller förhållandet mellan likhet mellan de homotetiska inversa figurerna kommer alltid att vara negativt.

komposition

När flera rörelser görs successivt tills man erhåller en siffra som är lika med originalet, uppstår en sammansättning av rörelser. Sammansättningen av flera rörelser är också en rörelse.

Sammansättningen mellan två homothecias resulterar i en ny homothecia; det vill säga, vi har en homotetisk produkt där centrumet kommer att anpassas till mitten av de två ursprungliga transformationerna, och förhållandet (k) är produkten av de två anledningarna.

Således, i sammansättningen av två H-homotyper₁(O₁, k₁) och H₂(O₂, k₂), multiplicera dina skäl: k₁ x k₂ = 1 kommer att resultera i en homothet av förhållandet k₃ = K₁ x k₂. Centrum för denna nya homotheti (O₃) kommer att ligga på O-raden₁ O₂.

Homoteten motsvarar en platt och irreversibel förändring; om två homothecer appliceras som har samma centrum och förhållande men med ett annat tecken kommer den ursprungliga siffran att erhållas.

exempel

Första exemplet

Applicera en homothet till den givna mittpolygonen (O), som ligger 5 cm från punkt A och vars förhållande är k = 0,7.

lösning

Varje punkt väljs som centrum för homotetin, och från denna stråle dras av figurerna i figuren:

Avståndet från centrum (O) till punkt A är OA = 5; med detta kan du bestämma avståndet för en av de homotetiska punkterna (OA ') med att också k = 0,7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Processen kan göras för varje vertex, eller du kan också rita den homotetiska polygonen ihåg att de två polygonerna har parallella sidor:

Slutligen ser transformationen ut så här:

Andra exemplet

Applicera en homothet till den givna mittpolygonen (O), som ligger vid 8,5 cm från punkt C och vars y-förhållande k = -2.

lösning

Avståndet från centrum (O) till punkt C är OC = 8,5; med dessa data är det möjligt att bestämma avståndet för en av de homotetiska punkterna (OC '), samtidigt som man vet att k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Efter spårande segmenten hörnen av den transformerade polygonen är att vara startpunkterna och deras homotetisk är belägna vid motsatta ändar i förhållande till centrum:

referenser

1. Álvaro Rendón, A.R. (2004). Teknisk ritning: aktiviteter anteckningsbok.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, J. L. (2002). Affinitet, homologi och homotheti.
3. Baer, ​​R. (2012). Linjär Algebra och Projektiv Geometri. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Allmän matematik, sannolikheter och statistik.
5. Meserve, B.E. (2014). Grundläggande begrepp för geometri. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Introduktion till algebra. Reverte.