Partiella fraktioner fall och exempel

den partiella fraktioner Fraktioner bildas av polynom, i vilket nämnaren kan vara en linjär eller kvadratisk polynom och även kan åberopas till en exponent. Ibland, när vi har rationella funktioner är det mycket användbart att skriva om den här funktionen som summa av partiella fraktioner eller enkla fraktioner.

Detta beror på att vi på så sätt kan manipulera dessa funktioner på ett bättre sätt, särskilt i de fall där det är nödvändigt att integrera denna applikation. En rationell funktion är helt enkelt kvoten mellan två polynomier och kan vara korrekt eller felaktigt.

Om graden av polynom av täljaren är mindre än nämnaren kallas den för sin egen rationella funktion; annars är det känt som en felaktig rationell funktion.

index

• 1 Definition
• 2 fall
  • 2.1 Fall 1
  • 2.2 Fall 2
  • 2.3 Fall 3
  • 2.4 Fall 4
• 3 applikationer
  • 3.1 Omfattande beräkning
  • 3.2 Masshandelns lag
  • 3.3 Differentialekvationer: logistisk ekvation
• 4 referenser

definition

När vi har en felaktig rationell funktion, kan vi dela upp polynom täljaren av nämnarpolynomet och därigenom skriva om fraktionen p (x) / q (x) genom att följa delningsalgoritmen som t (x) + s (x) / q (x), där t (x) är ett polynom s (x) / q (x) är en riktig rationell funktion.

En partiell fraktion är någon ordentlig funktion av polynomier, vars nämnare är av formen (ax + b)ⁿ o (ax²+ bx + c)ⁿ, om polynomaxen² + bx + c har inga riktiga rötter och n är ett naturligt tal.

För att skriva om en rationell funktion i partiella fraktioner, är den första sak att göra till faktor nämnaren q (x) som en produkt av faktorer linjära och / eller kvadratisk. När detta är gjort bestäms partiella fraktioner, vilka beror på naturen hos nämnda faktorer.

fall

Vi behandlar flera fall separat.

Fall 1

Faktorerna för q (x) är alla linjära och ingen upprepas. Det är:

q (x) = (a₁x + b₁) (a₂x + b₂) ... (a_sx + b_s)

Där är ingen linjär faktor identisk med en annan. När detta fall inträffar skriver vi:

p (x) / q (x) = A₁/ (a₁x + b₁) + A₂/ (a₂x + b₂) ... + A_s/ (a_sx + b_s).

Var A₁,EN₂,..., A_s är de konstanter som du vill hitta.

exempel

Vi vill sönderdela den rationella funktionen i enkla fraktioner:

(x - 1) / (x³+3x²+2x)

Vi fortsätter att faktorisera nämnaren, det vill säga:

x³ + 3x² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

då:

(x - 1) / (x³+3x²+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(X - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Användning av minst vanlig multipel, du kan få det:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) + C x (x + 1) x.

Vi vill få värdena för konstanterna A, B och C, vilket kan hittas genom att ersätta de rötter som avbryter var och en av villkoren. Att ersätta 0 för x har vi:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Byte - 1 för x har vi:

- 1 - 1 = (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Byte - 2 för x vi har:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

På detta sätt erhålles värdena A = -1/2, B = 2 och C = -3/2..

Det finns en annan metod för att erhålla värdena på A, B och C. Om på den högra sidan av ekvationen x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) + C x (x + 1) x vi kombinerar termer, vi har:

x - 1 = (A + B + C) x² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Eftersom detta är en likformighet av polynomier, har vi att koefficienterna på vänster sida måste vara lika med höger sida. Detta resulterar i följande ekvationssystem:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

När man löser detta system av ekvationer erhåller vi resultaten A = -1/2, B = 2 och C = -3/2.

Slutligen ersätter de erhållna värdena vi måste:

(X - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Fall 2

Faktorerna för q (x) är alla linjära och vissa upprepas. Antag att (ax + b) är en faktor som upprepas "s" gånger; då motsvarar denna faktor summan av "s" partiella fraktioner.

EN_s/ (ax + b)^s + EN_s-1/ (ax + b)^s-1 +... + A₁/ (ax + b).

Där A_s,EN_s-1,..., A₁ de är konstanterna som ska bestämmas. Med följande exempel kommer vi att visa hur man bestämmer dessa konstanter.

exempel

Dekomponera i partiella fraktioner:

(x - 1) / (x²(x - 2)³)

Vi skriver den rationella funktionen som summan av partiella fraktioner enligt följande:

(x - 1) / (x²(x - 2)³) = A / x² + B / x + C / (x - 2)³ + D / (x - 2)² + E / (x - 2).

då:

x - 1 = A (x - 2)³ + B (x - 2)³x + cx² + D (x - 2) x² + E (x - 2)²x²

Att ersätta 2 för x måste vi:

7 = 4C, det vill säga C = 7/4.

Att ersätta 0 för x har vi:

- 1 = -8A eller A = 1/8.

Genom att ersätta dessa värden i föregående ekvation och utveckla måste vi:

x - 1 = 1/8 (x³ - 6x² + 12x - 8) + Bx (x³ - 6x² + 12x - 8) + 7 / 4x² +Dx³ - 2Dx² + fd²(x² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x² +(3/2 - 8B) x - 1.

Genom matchande koefficienter erhåller vi följande ekvationssystem:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Lösning av systemet har vi:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

På grund av detta måste vi:

(x - 1) / (x²(x - 2)³) = (1/8) / x² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)³ + (5/4) / (x - 2)² - (3/16) / (x - 2).

Fall 3

Faktorerna för q (x) är kvadratiska linjära, utan att någon kvadratisk faktor upprepas. För detta fall är den kvadratiska faktorn (ax² + bx + c) motsvarar partiell fraktion (Ax + B) / (ax)² + bx + c), där konstanterna A och B är de som du vill bestämma.

Följande exempel visar hur man går vidare i det här fallet

exempel

Dekomponera i enkla fraktioner a (x + 1) / (x³ - 1).

Först fortsätter vi att faktor nämnaren, vilket ger oss som ett resultat:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Vi kan se det (x² + x + 1) är ett irreducerbart kvadratiskt polynom; det vill säga det har inga riktiga rötter. Dess sönderdelning i partiella fraktioner kommer att vara enligt följande:

(x + 1) / (x - 1) (x² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x² + x +1)

Härav erhåller vi följande ekvation:

x + 1 = (A + B) x² +(A-B + C) x + (A-C)

Med hjälp av jämlikhet av polynomier erhåller vi följande system:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A-C = 1;

Från detta system har vi A = 2/3, B = - 2/3 och C = 1/3. I stället måste vi

(x + 1) / (x - 1) (x² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x² + x +1).

Fall 4

Slutligen är fall 4 en där faktorerna q (x) är linjära och kvadratiska, där några av de linjära kvadratiska faktorerna upprepas.

I det här fallet ja (ax² + bx + c) är en kvadratisk faktor som upprepas "s" gånger, då den partiella fraktionen som motsvarar faktorn (axen)² + bx + c) kommer att vara:

(A₁x + B) / (ax² + bx + c) + ... + (A_s-1x + b_s-1) / (ax)² + bx + c)^s-1 + (A_sx + b_s) / (ax)² + bx + c)^s

Där A_s, EN_s-1,..., A och B._s, B_s-1,..., B är de konstanter som du vill bestämma.

exempel

Vi vill bryta ner följande rationella funktion i partiella fraktioner:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²)

Gilla x² - 4x + 5 är en irreducibel kvadratisk faktor, vi har att dess sönderdelning i partiella fraktioner ges av:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²) = A / x + (Bx + C) / (x² - 4x +5) + (Dx + E) / (x² - 4x + 5)²

Förenkling och utveckling, vi har:

x - 2 = a (x² - 4x + 5)² + (Bx + C) (x² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x⁴ + (- 8A - 4B + C) x³ + (26A + 5B - 4C + D) x² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Från ovanstående har vi följande ekvationssystem:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

När vi löser systemet måste vi:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 och E = - 3/5.

Vid ersättning av de erhållna värdena har vi:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²) = -2 / 25x + (2x-8) / 25 (x² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x² - 4x + 5)²

tillämpningar

Omfattande beräkning

De partiella fraktionerna används huvudsakligen för studier av integralkalkyl. Nedan kommer vi att se några exempel på hur man gör integraler med partiella fraktioner.

Exempel 1

Vi vill beräkna integralen av:

Vi kan se att nämnaren q (x) = (t + 2)²(t + 1) består av linjära faktorer där en av dessa upprepas; för detta är vi i fall 2.

Vi måste:

1 / (t + 2)²(t + 1) = A / (t + 2)² +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Vi skriver om ekvationen och vi har:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)²

Om t = - 1 måste vi:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Om t = - 2, ger den oss:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Då, om t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Att ersätta värdena för A och C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Från ovanstående har vi det B = - 1.

Vi skriver om integralet som:

Vi fortsätter att lösa det med hjälp av substitutionsmetoden:

Detta resulterar i:

Exempel 2

Lös följande integral:

I detta fall kan vi faktor till q (x) = x² - 4 som q (x) = (x - 2) (x + 2). Tydligt är vi i fall 1. Därför:

(Xx2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Det kan också uttryckas som:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Om x = - 2 har vi:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Och om x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Således måste vi lösa det givna integralet motsvarar att lösa:

Detta ger oss som ett resultat:

Exempel 3

Lös integralen:

Vi har q (x) = 9x⁴ + x² , att vi kan faktor i q (x) = x²(9x² + 1).

Vid detta tillfälle har vi en upprepad linjär faktor och en kvadratisk faktor; det vill säga vi är i fall 3.

Vi måste:

1 / x²(9x² + 1) = A / x² + B / x + (Cx + D) / (9x² + 1)

1 = A (9x² + 1) + Bx (9x² + 1) + Cx² + Dx²

Gruppering och användning av jämlikhet av polynomier har vi:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Från detta system av ekvationer måste vi:

D = - 9 och C = 0

På så sätt har vi:

Genom att lösa ovanstående har vi:

Massaktionslagen

En intressant tillämpning av de partiella fraktionerna som appliceras på integralkalkylen återfinns i kemi, mer exakt i massaktivitetslagen.

Antag att vi har två substanser A och B, som är sammanfogade och bildar ett ämne C, så att derivatan av mängden av C som funktion av tiden är proportionell mot produkten av de mängder av A och B vid varje given tidpunkt.

Vi kan uttrycka massaktionslagen enligt följande:

I detta uttryck är a den initiala kvantiteten gram som motsvarar A och P den initiala kvantiteten gram som motsvarar B.

Dessutom representerar r och s antalet gram A respektive B som kombinerar för att bilda r + s gram C. För sin del representerar x gramet av substans C vid tiden t och K är den proportionalitetskonstant. Ovannämnda ekvation kan omskrivas som:

Gör följande ändring:

Vi har att ekvationen blir:

Från detta uttryck kan vi få:

Om ja a ≠ b kan partiella fraktioner användas för integration.

exempel

Ta till exempel ett ämne C som härrör från att kombinera ett ämne A med en B, på ett sådant sätt att masslagen är uppfylld där värdena av a och b är 8 respektive 6. Ge en ekvation som ger oss värdet av gram C som en funktion av tiden.

Genom att ersätta värdena i den givna masslagstiftningen har vi:

När vi skiljer variabler har vi:

Här kan 1 / (8 - x) (6 - x) skrivas som summa av partiella fraktioner, enligt följande:

Således 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Om vi ​​ersätter x till 6, har vi det B = 1/2; och ersätter x för 8, har vi A = - 1/2.

Integrering med partiella fraktioner har vi:

Detta ger oss som ett resultat:

Differentialekvationer: logistisk ekvation

En annan applikation som kan ges till partiella fraktioner är i den logistiska differentialekvationen. I enkla modeller har vi att befolkningens tillväxthastighet är proportionell mot dess storlek. det vill säga

Det här fallet är ett idealiskt och anses vara realistiskt tills det händer att resurserna i ett system inte är tillräckliga för att behålla befolkningen.

I dessa situationer är det mer rimligt att tro att det finns en maximal kapacitet, som vi kommer att kalla L, som systemet kan upprätthålla, och att tillväxten är proportionell mot befolkningens storlek multiplicerad med den tillgängliga storleken. Detta argument leder till följande differentialekvation:

Detta uttryck kallas den logistiska differentialekvationen. Det är en separerbar differentialekvation som kan lösas med metoden för integration med partiella fraktioner.

exempel

Ett exempel skulle betraktas som en befolkning som växer i enlighet med följande logistisk ekvation y '= 0.0004y (1000 - y), är den initiala data 400. Vi vill veta storleken av populationen vid tiden t = 2, där t mäts i år.

Om vi ​​skriver en och "med Leibniz-notationen som en funktion som beror på t måste vi:

Integralet av vänster sida kan lösas med hjälp av metoden för integration med partiella fraktioner:

Denna sista likhet kan omskrivas på följande sätt:

- Att ersätta y = 0 vi har A är lika med 1/1000.

- Att ersätta y = 1000 har att B motsvarar 1/1000.

Med dessa värden lämnas integralet enligt följande:

Lösningen är:

Använda initialdata:

När du rensar och vi har lämnat:

Då har vi det vid t = 2:

Sammanfattningsvis, efter 2 år är befolkningsstorleken cirka 597,37.

referenser

1. A, R. A. (2012). Matematik 1. Andes universitet. Publikationsråd.
2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 löst integrerade. National Experimental University of Tachira.
3. Leithold, L. (1992). BERÄKNINGEN med analytisk geometri. HARLA, S.A.
4. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). beräkning. Mexiko: Pearson Education.
5. Saenz, J. (s.f.). Omfattande analys. hypotenusan.