Factoriseringsmetoder och exempel

den faktorisering är en metod genom vilken ett polynom uttrycks i form av multiplicering av faktorer, som kan vara siffror, bokstäver eller båda. För att faktorisera de faktorer som är gemensamma för termerna grupperas och på så sätt sönderdelas polynomet i flera polynomier.

Således, när faktorerna multiplicerar varandra är resultatet det ursprungliga polynomet. Factoring är en mycket användbar metod när du har algebraiska uttryck, eftersom det kan omvandlas till multiplicering av flera enkla termer. Till exempel: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b).

Det finns fall där ett polynom inte kan factored eftersom det inte finns någon gemensam faktor mellan dess termer; Följaktligen är dessa algebraiska uttryck delbara endast mellan sig och med 1. Till exempel: x + y + z.

I ett algebraiskt uttryck är den gemensamma faktorn den största gemensamma delaren av de termer som komponerar den.

index

• 1 Faktoreringsmetoder
  • 1.1 Factoring med gemensam faktor
  • 1,2 Exempel 1
  • 1.3 Exempel 2
  • 1.4 Factoring genom att gruppera
  • 1,5 Exempel 1
  • 1.6 Factoring genom inspektion
  • 1,7 Exempel 1
  • 1,8 Exempel 2
  • 1.9 Factoring med anmärkningsvärda produkter
  • 1.10 Exempel 1
  • 1.11 Exempel 2
  • 1.12 Exempel 3
  • 1.13 Factoring med Ruffinis regel
  • 1.14 Exempel 1
• 2 referenser

Factoring metoder

Det finns flera factoring metoder, som tillämpas beroende på fallet. Några av dessa är följande:

Factoring genom gemensam faktor

I denna metod identifieras de faktorer som är vanliga. det vill säga de som upprepas i uttrycket. Därefter tillämpas fördelningsegenskapen, den maximala gemensamma delaren avlägsnas och faktoriseringen fullbordas.

Med andra ord är den gemensamma uttrycksfaktorn identifierad och varje term är uppdelad mellan den; De resulterande termerna multipliceras med den största gemensamma faktorn för att uttrycka faktoriseringen.

Exempel 1

Faktor (b²x) + (b²y).

lösning

Först finns det den gemensamma faktorn för varje term, som i detta fall är b², och då är termerna delade mellan den gemensamma faktorn enligt följande:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

Faktoreringen uttrycks, multiplicera den gemensamma faktorn med de resulterande termerna:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y).

Exempel 2

Faktorera (2a)²b³) + (3ab²).

lösning

I det här fallet har vi två faktorer som upprepas i varje term som är "a" och "b", och som är förhöjda till en kraft. För att faktor dem, först är de två terminerna uppdelade i sin långa form:

2_*till_*till_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

Det kan observeras att faktorn "a" endast upprepas en gång i andra termen, och faktorn "b" upprepas två gånger i den; så i första termen finns det bara 2, en faktor "a" och en "b"; medan det i andra termen bara finns 3.

Därför skriver vi de tider som "a" och "b" upprepas och multipliceras med de faktorer som finns kvar från varje term, vilket framgår av bilden:

Factorisering genom att gruppera

Såsom inte alls är den maximala gemensamma divisorn av ett polynom tydligt uttryckt, det är nödvändigt att göra andra steg för att kunna skriva om polynomet och därigenom faktor.

Ett av dessa steg är att gruppera polynomernas termer i flera grupper och använd sedan commonfaktormetoden.

Exempel 1

Faktor ac + bc + ad + bd.

lösning

Det finns 4 faktorer där två är vanliga: i första termen är det "c" och i andra är det "d". På så sätt grupperas och separeras de två termerna:

(ac + bc) + (ad + bd).

Nu är det möjligt att tillämpa commonfaktormetoden, dividera varje term med sin gemensamma faktor och multiplicera sedan den gemensamma faktorn med de resulterande termerna, så här:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Nu får du ett binomial som är vanligt för båda termerna. Till faktor multipliceras den med de återstående faktorerna; så måste du:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b).

Faktorisering genom inspektion

Denna metod används för att faktor kvadratiska polynomier, även kallade trinomialer; det vill säga de som är strukturerad som yxa² ± bx + c, där värdet av "a" skiljer sig från 1. Denna metod används också när trinomet har formen x² ± bx + c och värdet av "a" = 1.

Exempel 1

Faktor x² + 5x + 6.

lösning

Du har en kvadratisk trinomial av formen x² ± bx + c. För att faktor det först måste du hitta två siffror som då multipliceras ger värdet av "c" (det vill säga 6) och att summan är lika med koefficienten "b", vilken är 5. Dessa siffror är 2 och 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

På så sätt förenklas uttrycket så här:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Varje term är fakturerad:

- För (x² + 2x) den gemensamma termen extraheras: x (x + 2)

- För (3x + 6) = 3 (x + 2)

Således förblir uttrycket:

x (x +2) + 3 (x +2).

Som du har en gemensam binomial, för att minska uttrycket multiplicera detta med överskottsvillkoren och du måste:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Exempel 2

Faktor 4a² + 12a + 9 = 0.

lösning

Du har en kvadratisk trinomial av formen axeln² ± bx + c och för att faktor det hela uttrycket multipliceras med koefficienten x²; i det här fallet 4.

den 4: e² + 12a +9 = 0

den 4: e² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² till² + 12a (4) + 36 = 0

Nu måste vi hitta två tal som, när de multipliceras tillsammans, ger som ett resultat värdet av "c" (vilket är 36) och att när de tillsätts tillsammans leder koefficienten för termen "a" som är 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

På så sätt omprövas uttrycket med hänsyn till det² till² = 4a _* 4A. Därför tillämpas fördelningsfastigheten för varje term:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Slutligen delas uttrycket av koefficienten av²; det vill säga 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Uttrycket är som följer:

den 4: e² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Factoring med anmärkningsvärda produkter

Det finns fall där man, för att fullt ut faktorera polynomerna med tidigare metoder, blir en mycket lång process.

Det är därför ett uttryck kan utvecklas med formlerna för de anmärkningsvärda produkterna och därigenom blir processen enklare. Bland de mest använda anmärkningsvärda produkterna är:

- Skillnaden mellan två kvadrater: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Perfekt kvadrat av summan: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- Perfekt kvadrat av en skillnad: a² - 2ab + b² = (a - b)²

- Skillnad på två kuber: a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

- Summan av två kuber: a³ - b³ = (a + b) _* (a² - ab + b²)

Exempel 1

Faktor (5² - x²)

lösning

I detta fall är det skillnad på två rutor; Därför tillämpas formeln för den anmärkningsvärda produkten:

(a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

Exempel 2

Faktor 16x² + 40x + 25²

lösning

I det här fallet har vi en perfekt kvadrat av summan, eftersom vi kan identifiera två termer kvadratiska och den återstående termen är resultatet av att multiplicera två med kvadratroten av den första termen, med kvadratroten av den andra termen.

till² + 2ab + b² = (a + b)²

Till faktor beräknas endast kvadratroten av första och tredje termerna:

√ (16x²) = 4x

√ (25²) = 5.

Därefter separeras de två resulterande termerna med tecknet på operationen, och hela polynomet är kvadrerat:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Exempel 3

Faktor 27a³ - b³

lösning

Uttrycket representerar en subtraktion i vilken två faktorer höjs till kuben. För att faktor dem, används formeln för den anmärkningsvärda produkten av kubens skillnad, vilken är:

till³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

Således, för att faktorisera kubikroten av varje term i binomiala avlägsnas och multipliceras med kvadraten på den första termen, plus produkten av den första av den andra termen, den andra termen mer kvadrerade.

27:e³ - b³

³√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27:e³ - b³ = (3a-b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

27:e³ - b³ = (3a-b) _* (9a² + 3ab + b²)

Factoring med Ruffini's regel

Denna metod används när du har ett polynom av grader större än två för att förenkla uttrycket till flera polynomier i mindre grad.

Exempel 1

Faktor Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

lösning

Först leta efter de siffror som är divisorer av 12, vilket är den oberoende termen; Dessa är ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 och ± 12.

Då ersätts x med dessa värden, från lägsta till högsta och sålunda bestäms det med vilket av värdena uppdelningen kommer att vara exakt; det vill säga resten måste vara 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

Och så vidare för varje delare. I det här fallet är de faktorer som hittats för x = -1 och x = 2.

Nu appliceras Ruffini-metoden, enligt vilken uttryckskoefficienterna kommer att delas upp mellan de faktorer som finns för att divisionen ska vara exakt. De polynomiska termerna beställs från högsta till lägsta exponent; i det fall att en term med graden som följer i sekvensen saknas placeras en 0 på sin plats.

Koefficienterna är placerade i ett schema som ses i följande bild.

Den första koefficienten sänks och multipliceras med divisorn. I det här fallet är den första divisorn -1, och resultatet placeras i nästa kolumn. Därefter tillsätts koefficientens värdet vertikalt med det resultat som erhölls och resultatet ligger nedanför. På så sätt upprepas processen till sista kolumnen.

Därefter upprepas samma procedur igen, men med den andra divisorn (vilken är 2) eftersom uttrycket fortfarande kan förenklas.

Således för varje rot erhållen polynom har en term (x - a), där "a" är värdet av roten:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Å andra sidan måste dessa villkor multipliceras med återstoden av Ruffinis regel 1: 1 och -6, vilka är faktorer som representerar en betygsättning. På detta sätt är uttrycket som bildas: (x² + x - 6).

Att erhålla resultatet av faktoriseringen av polynomet med Ruffini-metoden är:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

För att avsluta kan polynom av grader 2 som visas i föregående uttryck omskrivas som (x + 3) (x-2). Därför är den slutliga faktorn:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(X-2).

referenser

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Hur man lär barn om Factoring till polynom.
3. Manuel Morillo, A. S. (s.f.). Grundläggande matematik med applikationer.
4. Roelse, P. L. (1997). Linjära metoder för polynomfaktorisering över ändliga fält: teori och implementeringar. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Ringar och Factorization.