Polynom ekvationer (med lösta övningar)



den polynom ekvationer är ett uttalande som höjer likheten mellan två uttryck eller medlemmar, där minst en av de termer som utgör varje sida av jämlikhet är polynomerna P (x). Dessa ekvationer heter enligt graden av deras variabler.

I allmänhet är en ekvation ett uttalande som fastställer likformigheten av två uttryck, där i åtminstone en av dessa finns okända mängder, som kallas variabler eller okända. Även om det finns många typer av ekvationer klassificeras de i allmänhet i två typer: algebraisk och transcendent.

Polynomekvationer innehåller endast algebraiska uttryck, som kan ha en eller flera okända inblandade i ekvationen. Enligt exponenten (grad) de har kan klassificeras i första grad (linjär), andra gradens (kvadratisk), tredje graden (kubisk), fjärde klass (fjärdegrads) av grad större än eller lika med fem och irrationell.

index

  • 1 Egenskaper
  • 2 typer
    • 2.1 Första klass
    • 2.2 Avancerad nivå
    • 2.3 Resolver
    • 2,4 Högre betyg
  • 3 Övningar löst
    • 3.1 Första övningen
    • 3.2 Andra övningen
  • 4 referenser

särdrag

Polynom ekvationer är uttryck som bildas av en likhet mellan två polynomier; det vill säga av de ändliga summorna av multiplikationer mellan värden som är okända (variabler) och fasta tal (koefficienter), där variablerna kan ha exponenter, och deras värde kan vara ett positivt heltal inklusive noll.

Exponenterna bestämmer graden eller typen av ekvation. Den termen av uttrycket som har den högsta värdeexponenten kommer att representera den absoluta graden av polynomet.

Polynom ekvationer är också kända som algebraiska ekvationer, deras koefficienter kan vara reella eller komplexa tal och variabler är okända tal representerade av ett brev, till exempel: "x".

Om att ersätta ett värde för variabeln "x" i P (x) resultatet är noll (0), då det sägs att detta värde satisfierar ekvationen (det är en lösning), och brukar kallas roten av polynomet.

När en polynom ekvation är utvecklad vill du hitta alla rötter eller lösningar.

Typ

Det finns flera typer av polynomekvationer, som differentieras i enlighet med antalet variabler, och även enligt deras exponentgrad.

Sålunda, polynomekvationer, där den första termen är ett polynom som har en okänd, medan deras grad kan vara vilket som helst naturligt tal (n) och den andra termen är noll, kan uttryckas enligt följande:

tilln * xn + tilln-1 * xn-1 +... + a1 * x1 + till0 * x0 = 0

där:

- tilln, tilln-1 och a0, de är verkliga koefficienter (siffror).

- tilln Det skiljer sig från noll.

- Exponent n är ett positivt heltal som representerar ekvationsgraden.

- x är variabeln eller okänd som måste sökas.

Den absoluta eller större graden av en polynom ekvation är den exponent av större värde bland alla de som bildar polynomet; På så sätt klassificeras ekvationerna som:

Första klass

Polynomekvationer av första graden, även kända som linjära ekvationer, är de i vilka graden (den största exponenten) är lika med 1, är polynom av formen P (x) = 0; och den består av en linjär term och en oberoende term. Det är skrivet enligt följande:

ax + b = 0.

där:

- a och b är reella tal och en ≠ 0.

- axen är den linjära termen.

- b är den oberoende termen.

Till exempel är ekvationen 13x - 18 = 4x.

För att lösa linjära ekvationer måste alla termer som innehåller det okända x skickas till en sida av jämlikheten, och de som inte har flyttas till andra sidan för att rensa den och få en lösning:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

På så sätt har den givna ekvationen en enda lösning eller rot, som är x = 2.

Andra klass

Polynomekvationer av andra graden, även känd som kvadratiska ekvationer, är de i vilka graden (den största exponenten) är lika med 2, är av formen P (x) = 0 polynomet, och består av en kvadratisk term , en linjär och en oberoende. Den uttrycks som följer:

yXA2 + bx + c = 0.

där:

- a, b och c är reella tal och en ≠ 0.

- yXA2 är den kvadratiska termen, och "a" är den kvadratiska termens koefficient.

- bx är den linjära termen, och "b" är koefficienten för den linjära termen.

- c är den oberoende termen.

resolvente

I allmänhet ges lösningen till denna typ av ekvationer genom att rensa x från ekvationen och lämnas som följer, som kallas en resolver:

Där, (b2 - 4ac) kallas diskriminanten av ekvationen och detta uttryck bestämmer antalet lösningar som ekvationen kan ha:

- Ja (f2 - 4ac) = 0, kommer ekvationen att ha en enda lösning som är dubbel; det vill säga, du kommer att ha två lika stora lösningar.

- Ja (f2 - 4ac)> 0, kommer ekvationen att ha två olika verkliga lösningar.

- Ja (f2 - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Till exempel har du ekvationen 4x2 + 10x - 6 = 0, för att lösa det, först identifiera termerna a, b och c och ersätt sedan det i formeln:

a = 4

b = 10

c = -6.

Det finns fall där polynom ekvationer i andra graden inte har de tre terminerna, och det är därför de löses annorlunda:

- I det fall att de kvadratiska ekvationerna inte har den linjära termen (det vill säga b = 0) kommer ekvationen att uttryckas som axel2 + c = 0. För att lösa det, rensas det x2 och kvadratrotserna appliceras i varje medlem, med tanke på att de två möjliga tecknen som det okända kan ha beaktas:

yXA2 + c = 0.

x2 = - c ÷ a

Till exempel 5 x2 - 20 = 0.

5 x2 = 20

x2 = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x1 = 2.

x2 = -2.

- När den kvadratiska ekvationen inte har en oberoende term (dvs c = 0) kommer ekvationen att uttryckas som axel2 + bx = 0. För att lösa det måste vi extrahera den vanliga faktorn för den okända x i den första medlemmen; eftersom ekvationen är lika med noll, är det sant att minst en av faktorerna kommer att vara lika med 0:

yXA2 + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

På så sätt måste du:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Till exempel: du har ekvationen 5x2 + 30x = 0. Första faktor:

5x2 + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Två faktorer genereras som är x och (5x + 30). Det anses att en av dessa kommer att vara lika med noll och den andra lösningen kommer att ges:

x1 = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x2 = -6.

Huvudexamen

Polynomialekvationerna i högre grad är de som går från tredje graden och framåt, som kan uttryckas eller lösas med den allmänna polynomekvationen för vilken grad som helst:

tilln * xn + tilln-1 * xn-1 +... + a1 * x1 + till0 * x0 = 0

Detta används eftersom en ekvation med en grad som är större än två är resultatet av faktoriseringen av ett polynom; det vill säga uttrycks som multiplikation av polynomier av grad en eller större men utan reella rötter.

Lösningen av denna typ av ekvationer är direkt, eftersom multiplikationen av två faktorer kommer att vara lika med noll om någon av faktorerna är null (0); Därför måste varje av de polynomiska ekvationer som hittas lösas och matcha var och en av dess faktorer till noll.

Till exempel har du ekvationen av tredje graden (kubik) x3 + x2 +4x + 4 = 0. För att lösa det måste följande steg följas:

- Villkoren är grupperade:

x3 + x2 +4x + 4 = 0

(x3 + x2 ) + (4x + 4) = 0.

- Länkarna är uppdelade för att få den vanliga faktorn av det okända:

x2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x2 + 4)*(x + 1) = 0.

- På detta sätt erhålls två faktorer som måste vara lika med noll:

(x2 + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Man kan se att faktorn (x2 + 4) = 0 har ingen riktig lösning, medan faktorn (x + 1) = 0 ja. Därför är lösningen:

(x + 1) = 0

x = -1.

Lösta övningar

Lös följande ekvationer:

Första träningen

(2x2 + 5)*(x - 3)*(1 + x) = 0.

lösning

I detta fall uttrycks ekvationen som multiplikation av polynomier; det är det faktiskt. För att lösa det måste varje faktor vara lika med noll:

- 2x2 + 5 = 0, har ingen lösning.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Således har den givna ekvationen två lösningar: x = 3 och x = -1.

Andra övningen

x4 - 36 = 0.

lösning

Det gavs ett polynom som kan omskrivas som en skillnad av kvadrater för att komma fram till en snabbare lösning. Således förblir ekvationen:

(x2 + 6)*(x2 - 6) = 0.

För att hitta lösningen av ekvationerna är båda faktorerna lika med noll:

(x2 + 6) = 0, har ingen lösning.

(x2 - 6) = 0

x2 = 6

x = ± √6.

Sålunda har den ursprungliga ekvationen två lösningar:

x = √6.

x = - √6.

referenser

  1. Andres, T. (2010). Matematisk Olympiad Tresure. Springer. New York.
  2. Angel, A. R. (2007). Elementaralgebra Pearson Education,.
  3. Baer, ​​R. (2012). Linjär Algebra och Projektiv Geometri. Courier Corporation.
  4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havanna: Kultur.
  5. Castaño, H. F. (2005). Matematik före beräkningen. Universitetet i Medellin.
  6. Cristóbal Sánchez, M.R. (2000). Math manual för olympisk förberedelse. Universitat Jaume I.
  7. Kreemly Pérez, M.L. (1984). Överlägsen Algebra I.
  8. Massara, N. C.-L. (1995). Matematik 3.