Hur många lösningar har en kvadratisk ekvation?

En kvadratisk ekvation eller ekvation i den andra graden kan ha noll, en eller två reella lösningar, beroende på koefficienterna som visas i nämnda ekvation.

Om du arbetar med komplexa tal kan du säga att varje kvadratisk ekvation har två lösningar.

För att starta en kvadratisk ekvation är en ekvation av formen ax2 + bx + c = 0, där a, b och c är reella tal och x är en variabel.

Det sägs att x1 är en lösning av den föregående kvadratiska ekvationen om ersättning av x vid x1 motsvarar ekvationen, det vill säga om a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Om du till exempel har ekvationen x²-4x + 4 = 0, är ​​x1 = 2 lösningen sedan (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Tvärtom, om x2 = 0 är substituerad, erhåller vi (0) ²-4 (0) + 4 = 4 och som 4 ≠ 0 är x2 = O inte en lösning av kvadratisk ekvation.

Lösningar av en kvadratisk ekvation

Antalet lösningar av en kvadratisk ekvation kan separeras i två fall som är:

1.- I reella tal

När man arbetar med reella tal kan kvadratiska ekvationer ha:

-Nolllösningar: det vill säga det finns inget riktigt tal som uppfyller den kvadratiska ekvationen. Exempelvis är ekvationen som ges av ekvationen x2 + 1 = 0 ingen sannighet som motsvarar denna ekvation, eftersom båda x2 är större än eller lika med noll och 1 är strängare än noll så att dess summa blir större strikt som noll.

-En upprepad lösning: Det finns ett enda verkligt värde som uppfyller kvadratiska ekvationen. Till exempel är den enda lösningen på ekvationen x²-4x + 4 = 0 x1 = 2.

-Två olika lösningar: det finns två värden som uppfyller den kvadratiska ekvationen. Exempelvis har x² + x-2 = 0 två olika lösningar som är x1 = 1 och x2 = -2.

2.- I komplexa tal

När man arbetar med komplexa tal har de kvadratiska ekvationerna alltid två lösningar som är z1 och z2 där z2 är konjugatet av z1. Dessutom kan de klassificeras i:

-komplex: lösningarna är av formen z = p ± qi, där p och q är reella tal. Detta fall motsvarar det första fallet i föregående lista.

-Rena komplex: är när den verkliga delen av lösningen är lika med noll, det vill säga lösningen har formen z = ± qi, där q är ett reellt tal. Detta fall motsvarar det första fallet i föregående lista.

-Komplex med imaginär del lika med noll: är när den komplexa delen av lösningen är lika med noll, det vill säga lösningen är ett reellt tal. Detta fall motsvarar de två sista fallen i föregående lista.

Hur beräknas lösningarna i en kvadratisk ekvation??

För att beräkna lösningarna för en kvadratisk ekvation används en formel som kallas "resolveren", som säger att lösningarna i en ekvation ax2 + bx + c = 0 ges genom uttrycket av följande bild:

Mängden som visas inuti kvadratroten kallas diskriminanten för den kvadratiska ekvationen och betecknas med bokstaven "d".

Den kvadratiska ekvationen kommer att ha:

-Två reella lösningar om, och endast om, d> 0.

-En reell lösning upprepas om, och endast om, d = 0.

-Noll verkliga lösningar (eller två komplexa lösningar) om, och endast om, d<0.

Exempel:

-Lösningarna i ekvationen x² + x-2 = 0 ges av:

-Ekvationen x²-4x + 4 = 0 har en upprepad lösning som ges av:

-Lösningarna i ekvationen x2 + 1 = 0 ges av:

Som du kan se i det här sista exemplet är x2 konjugatet av x1.

referenser

1. Källor, A. (2016). Grundläggande matematik. En introduktion till beräkning. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematik: kvadratiska ekvationer.: Hur man löser en kvadratisk ekvation. Marilù Garo.
3. Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Matematik för administration och ekonomi. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. tröskel.
5. Preciado, C. T. (2005). Matematikkurs 3o. Editorial Progreso.
6. Rock, N. M. (2006). Algebra Jag är lätt! Så enkelt. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra och trigonometri. Pearson Education.