Historisk bakgrund för analytisk geometri

den Historisk bakgrund av analytisk geometri De går tillbaka till 1700-talet, när Pierre de Fermat och René Descartes definierade sin grundläggande idé. Hans uppfinning följde moderniseringen av algebra och den algebraiska notationen av François Viète.

Detta fält har sina baser i Antikens Grekland, särskilt i Apollonius och Euclids verk, som hade ett stort inflytande på detta område av matematik.

Den grundläggande tanken bakom analytisk geometri är att ett förhållande mellan två variabler, så att en är en funktion av den andra, definierar en kurva.

Denna idé utvecklades för första gången av Pierre de Fermat. Tack vare denna väsentliga ram kunde Isaac Newton och Gottfried Leibniz utveckla beräkningen.

Den franska filosofen Descartes upptäckte också ett algebraiskt förhållningssätt till geometri, tydligen på egen hand. Descartes verk på geometri framträder i hans berömda bok Metodens tal.

I den här boken indikeras att kompassen och de geometriska konstruktionerna av raka kanter innefattar tillsatsen, subtraktionen, multiplikationen och kvadratroten.

Analytisk geometri representerar föreningen av två viktiga traditioner i matematik: geometri som studiet av formen, och aritmetik och algebra, som har att göra med det eller flera nummer. Därför är analytisk geometri studien av geometriområdet med hjälp av koordinatsystem.

historia

Bakgrund analytisk geometri

Förhållandet mellan geometri och algebra har utvecklats genom matematikens historia, även om geometrin nått en tidigare mognad.

Till exempel kunde den grekiska matematiker Euclid organisera många resultat i sin klassiska bok Elementen.

Men det var den antika grekiska Apollonius av Perga som förutspådde utvecklingen av analytisk geometri i sin bok conic. Han definierade en konisk som korsningen mellan en kon och ett plan.

Att använda resultaten av Euclid liknande och sekant cirklar trianglar, hittade en vänster av avstånden för varje punkt "P" av en konisk två vinkelräta linjer, huvudaxeln hos en kon och tangenten vid en ändpunkt av axeln förhållandet. Apollonius använde detta förhållande för att döma de grundläggande egenskaperna hos koniker.

Den efterföljande utvecklingen av koordinatsystem i matematik framstod först efter att algebraen hade mognat tack vare islamiska och indiska matematiker.

Fram till renässansgeometrin användes för att motivera lösningar för algebraiska problem, men det var inte så mycket att algebra skulle kunna bidra till geometri.

Denna situation skulle förändras med antagandet av en praktisk notering för algebraiska relationer och utvecklingen av begreppet matematisk funktion, som nu var möjligt.

XVI Century

I slutet av 1500-talet introducerade den franska matematiker François Viète den första systematiska algebraiska notationen med hjälp av bokstäver för att representera numeriska kvantiteter, både kända och okända.

Han utvecklade också kraftfulla allmänna metoder för att arbeta algebraiska uttryck och lösa algebraiska ekvationer.

Tack vare detta var matematiker inte helt beroende av geometriska figurer och geometrisk intuition för att lösa problem.

Även vissa matematiker började överge den geometriska standard sätt att tänka, enligt vilken de linjära variabla längder och torg motsvarar områden, medan motsvarande kubiska volymer.

Den första som tog detta steg var filosofen och matematikern René Descartes och advokaten och matematikern Pierre de Fermat.

Stiftelsen för analytisk geometri

Descartes och Fermat grundade självständigt analytisk geometri under 1630-talet genom att anta Viète-algebra för studier av geometrisk locus.

Dessa matematiker insåg att algebra var ett verktyg med stor kraft i geometri och uppfunnit det som idag kallas analytisk geometri.

Ett förskott som de gjorde var att övervinna Viète genom att använda bokstäver för att representera avstånd som är variabla istället för fasta..

Descartes ekvationer används för att studera kurvor definierade geometriskt, och betonade behovet av att överväga allmänna algebraiska-grafiska kurvor av polynomekvationer i betygen "x" och "y".

Fermat betonade för sin del att varje relation mellan koordinaterna "x" och "och" bestämmer en kurva.

Genom att använda dessa idéer omstrukturerade han Apollonius uttalanden om algebraiska termer och återställde några av hans förlorade verk..

Fermat indikerade att någon kvadratisk ekvation i "x" och "y" kan placeras i standardformen för en av de koniska sektionerna. Trots detta har Fermat aldrig publicerat sitt arbete i ämnet.

Tack vare sina framsteg kunde Archimedes bara lösas med stor svårighet och isolerade fall, Fermat och Descartes kunde snabbt och lösa en hel del kurvor (som nu kallas algebraiska kurvor).

Men hans idéer fick endast generellt acceptans genom andra matematikeras ansträngningar under senare hälften av sjuttonhundratalet.

Matematikerna Frans van Schooten, Florimond de Beaune och Johan de Witt hjälpte till att expandera Decartes arbete och lade till viktigt ytterligare material.

inflytande

I England publicerade John Wallis analytisk geometri. Han använde ekvationer för att definiera konikerna och härleda deras egenskaper. Även om han använde negativa koordinater fritt var det Isaac Newton som använde två sneda axlar för att dela planet i fyra kvadranter.

Newton och tyska Gottfried Leibniz revolutionerade matematiken i slutet av 1700-talet genom att självständigt visa beräkningsförmågan.

Newton demonstrerade betydelsen av analytiska metoder i geometri och dess roll i beräkningen, när hävdade att varje kub (eller någon algebraisk kurva av tredje graden) har tre eller fyra standardekvationer för axlar lämpliga koordinat. Med hjälp av Newton själv visade den skotska matematikern John Stirling den 1717.

Analytisk geometri med tre och flera dimensioner

Fastän både Descartes och Fermat föreslog att man använde tre koordinater för att studera kurvor och ytor i rymden utvecklades tredimensionell analytisk geometri långsamt fram till 1730.

Matematikerna Euler, Hermann och Clairaut producerade generella ekvationer för cylindrar, kottar och ytor av revolutionen.

Euler använde till exempel ekvationer för översättningar i rymden för att transformera den allmänna kvadratiska ytan, så att dess huvudaxlar sammanföll med dess koordinataxlar.

Euler, Joseph-Louis Lagrange och Gaspard Monge gjorde analytisk geometri oberoende av syntetisk geometri (inte analytisk).

referenser

1. Utvecklingen av analytisk geometri (2001). Återställd från encyclopedia.com
2. Historisk analysgeometri (2015). Återställd från maa.org
3. Analys (Matematik). Återställd från britannica.com
4. Analytisk geometri. Återställd från britannica.com
5. Descartes och den analytiska geometrins födelse. Återställd från sciencedirect.com