Dimensionella analysmetoder, principen om homogenitet och övningar



den dimensionell analys är ett verktyg som används allmänt inom olika grenar av vetenskap och teknik för att bättre förstå fenomenen som involverar närvaro av olika fysiska storheter. Storheterna har dimensioner och från dessa erhålls de olika måttenheterna.

Ursprunget av begreppet dimension återfinns i den franska matematiker Joseph Fourier, som myntade det. Fourier förstod också att för att två ekvationer skulle vara jämförbara måste de vara homogena med avseende på deras dimensioner. Det betyder att du inte kan lägga till meter med kilogram.

Således är dimensionell analys ansvarig för att studera storlekar, dimensioner och homogenitet i fysiska ekvationer. Av denna anledning används det ofta för att kontrollera relationer och beräkningar, eller för att konstruera hypoteser om komplicerade frågor som sedan kan testas experimentellt..

På så sätt är dimensionell analys ett perfekt verktyg för att upptäcka fel i beräkningarna när man kontrollerar kongruens eller inkongruens av de enheter som används i dem, speciellt med inriktning på enheterna i de slutliga resultaten.

Dessutom används dimensionell analys för systematiska experiment. Det gör det möjligt att minska antalet nödvändiga experiment, samt att underlätta tolkningen av de erhållna resultaten.

En av de grundläggande grundarna för den dimensionella analysen är att det är möjligt att representera någon fysisk kvantitet som en produkt av krafterna av en mindre mängd, kända som grundläggande kvantiteter från vilka resten härledas.

index

  • 1 Grundläggande storheter och dimensionell formel
  • 2 Dimensionella analystekniker
    • 2.1 Rayleigh-metoden
    • 2.2 Buckingham metod
  • 3 Principen om dimensionell homogenitet
    • 3.1 Likhetsprincipen
  • 4 applikationer
  • 5 Övningar löst
    • 5.1 Första övningen
    • 5.2 Andra övningen
  • 6 referenser

Grundläggande storheter och dimensionell formel

I fysiken betraktas grundläggande storheter som de som tillåter andra att uttrycka sig i termer av dessa. Enligt konventionen har följande valts: längden (L), tiden (T), massan (M), den elektriska strömintensiteten (I), temperaturen (θ), ljusintensiteten (J) och mängd ämne (N).

Tvärtom betraktas resten som avledda kvantiteter. Några av dessa är: område, volym, densitet, hastighet, acceleration, bland andra.

Matematisk jämlikhet definieras som en dimensionell formel som presenterar förhållandet mellan en härledd kvantitet och de grundläggande.

Dimensionsanalysstekniker

Det finns flera tekniker eller metoder för dimensionell analys. Två av de viktigaste är följande:

Rayleigh-metoden

Rayleigh, som var bredvid Fourier, en av föregångarna till dimensionell analys, utvecklade en direkt och mycket enkel metod som gör att vi kan få dimensionella element. I denna metod följs följande steg:

1- Den potentiella karaktärsfunktionen för den beroende variabeln definieras.

2- Varje variabel ändras med motsvarande dimensioner.

3- Homogenitetsbetingelsekvationerna fastställs.

4- De n-p okända är fixerade.

5- Byt ut exponenterna som har beräknats och fixats i den potentiella ekvationen.

6- Flytta grupperna av variabler för att definiera dimensionslösa tal.

Buckingham metod

Denna metod bygger på Buckinghams teorem eller pi-teorem, som anger följande:

Om det finns en relation på en homogen dimensionell nivå mellan ett tal "n" med fysiska storheter eller variabler där "p" olika grundläggande dimensioner uppträder finns också ett förhållande av homogenitet mellan n-p, oberoende dimensionslösa grupper.

Principen om dimensionell homogenitet

Fouriers princip, även känd som principen om dimensionell homogenitet, påverkar korrekt strukturering av uttryck som kopplar fysiska kvantiteter algebraiskt.

Det är en princip som har matematisk konsistens och säger att det enda alternativet är att subtrahera eller lägga samman fysiska storheter som är av samma natur. Därför är det inte möjligt att lägga till en massa med en längd eller en tid med en yta etc..

På samma sätt säger principen att för att de fysiska ekvationerna ska vara korrekta på dimensionell nivå måste de totala villkoren för medlemmarna av jämställdhetssidorna ha samma dimension. Denna princip tillåter att de fysiska ekvationernas koherens garanteras.

Principen om likhet

Principen om likhet är en förlängning av karaktären av homogenitet vid den fysiska ekvationens dimensionella nivå. Det anges som följer:

De fysiska lagarna förblir oförändrade mot förändringen av dimensionerna (storlek) av ett fysiskt fakta i samma system av enheter, oavsett om de är förändringar av en riktig eller imaginär karaktär.

Den tydligaste tillämpningen av likhetsprincipen ges i analysen av de fysikaliska egenskaperna hos en modell i mindre skala, för att senare använda resultaten i objektet i en verklig storlek.

Denna praxis är grundläggande på områden som design och tillverkning av flygplan och fartyg och i stora hydrauliska arbeten.

tillämpningar

Bland de många tillämpningarna av dimensionell analys kan vi markera de som anges nedan.

- Sök eventuella fel i de utförda operationerna

- Lösa problem vars upplösning ger en oöverstiglig matematisk svårighet.

- Design och analysera småskaliga modeller.

- Gör observationer om hur de möjliga ändringarna i en modell påverkar.

Dessutom används dimensionell analys ganska ofta i studien av vätskemekanik.

Relevansen av dimensionell analys i vätskemekaniken beror på svårigheten att upprätta ekvationer i vissa flöden såväl som svårigheten att lösa dem, så det är omöjligt att få empiriska relationer. Därför är det nödvändigt att tillgripa experimentmetoden.

Lösta övningar

Första träningen

Hitta den dimensionella ekvationen för hastighet och acceleration.

lösning

Eftersom v = s / t är det sant att: [v] = L / T = L ∙ T-1

på likartat sätt:

a = v / t

[a] = L / T2 = L ∙ T-2

Andra övningen

Bestäm den dimensionella ekvationen för rörelsen.

lösning

Eftersom momentet är produkten mellan massa och hastighet är det sant att p = m ∙ v

därför:

[p] = M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T-2

referenser

  1. Dimensionsanalys (n.d.). På Wikipedia. Hämtad den 19 maj 2018, från en.wikipedia.org.
  2. Dimensionsanalys (n.d.). På Wikipedia. Hämtad den 19 maj 2018, från en.wikipedia.org.
  3. Langhaar, H. L. (1951), Dimensionell Analys och Teori av Modeller, Wiley.
  4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005). Fysik och kemi. Everest
  5. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002). Förstå fysiken. Birkhäuser.