Sarrus Rule i vad som består och typer av determinanter



den Sarrusregeln Det används för att beräkna resultatet av determinanter av 3 × 3. Dessa används för att lösa linjära ekvationer och vet om de är kompatibla.

Kompatibla system gör att du enkelt kan få lösningen. De används också för att bestämma om uppsättningar av vektorer är linjärt oberoende och utgör grunden för vektorutrymmet.

Dessa applikationer är baserade på matrisernas inverterbarhet. Om en matris är vanlig är dess determinant annorlunda än 0. Om den är singulär är dess determinant 0. De determinanterna kan endast beräknas i kvadratiska matriser.

För att beräkna matriser av vilken ordning som helst, kan Laplace-steget användas. Denna sats tillåter oss att förenkla matriserna med höga dimensioner, i summor av små determinanter som vi bryter ner från huvudmatrisen.

Bekräftar att determinanten av en matris är lika med summan av produkterna i varje rad eller kolumn, med determinanten av dess bundna matris.

Detta minskar determinanterna så att en determinant av grad n blir n determinanter av n-1. Om vi ​​tillämpar denna regel i följd, kan vi få att få bestämnings dimension 2 (2 x 2) eller tre (3 x 3), där det är mycket lättare att beräkna.

Sarrus Rule

Pierre Frederic Sarrus var en fransk matematiker från 1800-talet. De flesta av hans matematiska avhandlingar bygger på metoder för att lösa ekvationer och beräkning av variationer, inom de numeriska ekvationerna.

I en av hans avhandlingar löst han en av de mest komplicerade gåvorna i mekaniken. För att lösa problemen med leddelarna introducerade Sarrus omvandlingen av alternativa rätlinjiga rörelser, i likformiga cirkelrörelser. Detta nya system är känt som Sarrus-mekanismen.

Forskning som mer ära gav denna matematiker var den som introducerade en ny beräkningsmetod för att bestämma, i artikeln "Nouvelles METODER pour la résolution des ekvationer" (Ny metod för att lösa ekvationer), som publicerades i år 1833. Detta sätt att lösa linjära ekvationer är känt som Sarrus regel.

Sarrus utesluta att beräkna determinanten av en matris av 3 x 3, utan att använda expansions Laplace, införa en mycket mer enkel och intuitiv metod. För att kunna kontrollera värdet av Sarrusregeln tar vi någon matris av dimension 3:

Beräkningen av dess determinant skulle göras med produkten av dess huvudsakliga diagonaler, subtrahera produkten från de inverse diagonalerna. Detta skulle vara följande:

Sarrusregeln tillåter oss att få en mycket enklare syn när vi beräknar diagonalerna för determinanten. Det skulle förenklas genom att lägga till de första två kolumnerna bakom matrisen. Således ser dig mer tydligt vad deras huvudsakliga diagonaler är och vad det omvända, att beräkna produkten.

Genom denna bild kan vi se tillämpningen av Sarrusregeln, vi inkluderar rad 1 och 2, under den grafiska representationen för den ursprungliga matrisen. På så sätt är de huvudsakliga diagonalerna de tre diagonalerna som uppträder i första hand.

De tre omvända diagonalerna är i sin tur de som visas först i ryggen.

Sålunda, diagonalerna visas i en mer visuellt sätt, utan att komplicera resolution av determinanten, försöka lista ut vilken elementen i matrisen hör till varje diagonal.

Som det framgår av bilden väljer vi diagonalerna och beräknar den resulterande produkten av varje funktion. Diagonalerna som visas i blått är de som lägger till. Till summan av dessa subtraherar vi värdet på diagonalerna som visas i rött.

För att göra komprimeringen enklare kan vi använda ett numeriskt exempel istället för att använda algebraiska termer och subtermer.

Om vi ​​tar någon 3 × 3 matris, till exempel:

För att tillämpa Sarrusregeln och lösa det på ett mer visuellt sätt bör vi inkludera rad 1 och 2, som rad 4 respektive 5. Det är viktigt att hålla raden 1 i 4: e positionen och rad 2 i 5: e positionen. För om vi byter ut dem, kommer Sarrusregeln inte att vara effektiv.

För att beräkna determinanten ser vår matris ut så här:

För att fortsätta med beräkningen multiplicerar vi elementen i huvuddiagonalerna. De nedstigande som börjar till vänster kommer att ta positivt tecken; medan de omvända diagonalerna, som är de som börjar till höger, har ett negativt tecken.

I det här exemplet skulle de blåa gå med ett positivt tecken och de röda med ett negativt tecken. Den slutliga beräkningen av Sarrusregeln skulle se ut så här:

Typer av determinanter

Bestämmer av dimension 1

Om matrisens dimension är 1, är matrisen av denna form: A = (a)

Därför skulle dess determinant vara följande: det (A) = | A | = a

Sammanfattningsvis är determinanten av matris A lika med det absoluta värdet av matris A, vilket i detta fall är a.

Bestämmer av dimension 2

Om vi ​​går till matriser av dimension 2 får vi matriser av typen:

Där dess determinant definieras som:

Upplösningen på denna avgörande bygger på multiplikation av dess viktigaste diagonal, subtrahera produkten av dess invers diagonal.

Som en mnemonisk regel kan vi använda följande diagram för att komma ihåg dess determinant:

Bestämmer av dimension 3

Om matrisens dimension är 3, skulle den resulterande matrisen vara av denna typ:

Bestämningen av denna matris skulle lösas genom Sarrusregeln på detta sätt:

referenser

  1. Jenny Olive (1998) Matematik: En elevs överlevnadsguide. Cambridge University Press.
  2. Richard J. Brown (2012) 30-sekunders matematik: De 50 mest utbredda teorierna i matematik. Ivy Press Limited.
  3. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
  4. Awol Assen (2013) En studie om beräkning av determinanterna av en 3 × 3-matris. Lap Lambert Academic Publishing.
  5. Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Pass publicering.
  6. Jesse Russell (2012) Regel av Sarrus.
  7. M. Casteleiro Villalba (2004) Introduktion till linjär algebra. ESIC Editorial.